По расчётам Ньютона, два шара диаметром по 30 см каждый, расположенные на расстоянии 0,6 см, сойдутся под действием силы взаимного притяжения через месяц после начала движения (расчёт производился при условии
отсутствия внешнего сопротивления). Плотность шаров Ньютон брал равной средней плотности Земли: $ρ = 5 * 10^{3} кг/м^{3}$. Силу тяготения считать постоянной. Прав ли учёный?
Дано:
d = 30 см;
l = 0,6 см;
t = 1 месяц;
$ρ = 5 * 10^{3} кг/м^{3}$;
$G = 6,67 * 10^{-11} \frac{Н * м^{2}}{кг^{2}}$.
Найти:
$t_{расч}$ − ?
СИ:
d = 0,3 м;
l = 0,006 м.
Решение:
$R = \frac{d}{2} = \frac{0,3}{2} = 0,15$ м;
Масса шара равна:
$m = \frac{4}{3}πR^{3}$;
$m_{1} = m_{2} = m = \frac{4}{3} * 3,14 * 0,15^{3} = 70,65$ кг;
Сила взаимодействия равна:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{(2R+l)^{2}} = \frac{Gm^{2}}{(2R+l)^{2}}$;
$F = \frac{6,67 * 10^{-11} * 70,65^{2}}{(2 * 0,15 + 0,006)^{2}} = 3,6 * 10^{-6}$ Н;
Согласно второму закону Ньютона:
F = ma;
$a = \frac{F}{m}$;
$a = \frac{3,6 * 10^{-6}}{70,65} = 5 * 10^{-8} м/с^{2}$;
Путь, который прошел каждый шар, равен:
$S = \frac{l}{2}$;
$S = \frac{0,006}{2} = 0,003$ м;
Уравнение равноускоренного движения:
$S = v_{0}t + \frac {at^{2}}{2}$;
Т.к. шар начинает движение, то $v_{0} = 0$;
$S = \frac {at^{2}}{2}$;
$2S = at^{2}$;
$t^{2} = \frac{2S}{a}$;
$t = \sqrt{\frac{2S}{a}}$;
$t = \sqrt{\frac{2 * 0,003}{5 * 10^{-8}}} = 346$ c.
Ответ: 346 сек. Ньютон был не прав.
Для решения задачи необходимо подробно изучить теоретические аспекты, связанные с гравитацией, движением тел под действием силы тяготения, а также рассмотреть основные физические законы и подходы к расчету.
Основные теоретические аспекты:
Закон всемирного тяготения:
Согласно закону всемирного тяготения, два тела массами $ m_1 $ и $ m_2 $, находящиеся на расстоянии $ r $ друг от друга, притягиваются с силой $ F $, которая определяется формулой:
$$
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2},
$$
где:
$ G $ — гравитационная постоянная, $ G = 6.67 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $.
Масса сферического тела:
Масса тела может быть вычислена через его плотность $ \rho $ и объём $ V $. Если тело имеет форму шара, то его объём выражается как:
$$
V = \frac{4}{3} \pi R^3,
$$
где $ R $ — радиус шара. Соответственно, масса шара:
$$
m = \rho V = \rho \frac{4}{3} \pi R^3.
$$
Ускорение тел под действием силы гравитации:
Под действием силы притяжения два тела начинают двигаться навстречу друг другу с ускорением. Согласно второму закону Ньютона:
$$
F = m a,
$$
где $ a $ — ускорение, $ m $ — масса тела. Ускорение одного из тел можно выразить как:
$$
a = \frac{F}{m}.
$$
Скорость сближения и зависимость от времени:
Движение тел под действием силы тяготения можно описать с учетом закона всемирного тяготения и зависимости ускорения от времени. Поскольку расстояние между телами меняется, сила гравитации $ F $ становится функцией расстояния $ r(t) $, что приводит к сложным расчетам.
Суммарное ускорение системы:
Если оба тела движутся, нужно учитывать их взаимное ускорение. Суммарное ускорение определяется силами, действующими на оба тела.
Условие отсутствия внешнего сопротивления:
В задаче указано, что движение происходит без учёта сопротивления среды или других внешних факторов. Это означает, что единственная сила, действующая на тела, — это сила их взаимного гравитационного притяжения.
Плотность Земли:
Указанная плотность $ \rho $ (средняя плотность Земли) равна $ 5 \times 10^3 \, \text{кг}/\text{м}^3 $. Она используется для расчета массы шаров, исходя из их геометрических размеров.
Путь сближения:
Расстояние между центрами шаров в начальный момент времени равно $ r_0 = 0.6 \, \text{см} $, что в метрах составляет $ r_0 = 0.006 \, \text{м} $. Задача требует определить, возможно ли, чтобы шары с массами и плотностью, указанными в задаче, сойдутся через месяц (30 дней).
Величина времени:
Время сближения двух тел можно рассчитать, используя зависимость движения от ускорения, скорости и расстояния. Точное решение требует интегрирования движения тел с учетом изменяющейся силы (которая зависит от расстояния между телами).
Граничное условие:
Указано условие, что шары полностью сближаются (расстояние между их центрами становится равным нулю) через заданное время $ t = 30 \, \text{дней} $.
При анализе ситуации потребуется:
− Вычислить массы шаров;
− Определить силу притяжения между шарами в начальный момент времени;
− Рассчитать ускорение, вызванное этой силой;
− Проверить, соответствует ли время сближения реальному времени, указанному в задаче.
Для выполнения этих расчетов необходимо применить формулы механики и гравитации, а также решить задачу движения с переменной силой.
Пожауйста, оцените решение
