Почему говорят, что, определив гравитационную постоянную, Кавендиш «взвесил» Землю? Какой результат получил бы учёный, проводя опыт на Марсе; Юпитере?

Для ответа на этот вопрос важно сначала понять, как связаны между собой гравитационная постоянная, масса Земли и метод, который использовал Генри Кавендиш в своём историческом эксперименте. Рассмотрим ключевые понятия и законы физики, которые лежат в основе данной задачи.

Закон Всемирного тяготения
Формулировка закона всемирного тяготения Исаака Ньютона гласит: все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами масс. Математически это выражается как:

$$ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, $$

где:
− $ F $ — сила гравитационного взаимодействия между двумя телами;
− $ G $ — гравитационная постоянная, численное значение которой определил Кавендиш в своём эксперименте;
− $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел;
− $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.

Эксперимент Кавендиша
Генри Кавендиш в 1798 году провёл эксперимент с использованием крутильных весов. Он измерял силу притяжения между двумя известными массами $ m_1 $ и $ m_2 $, находящимися на известном расстоянии $ r $. Зная силу $ F $, можно вычислить гравитационную постоянную $ G $ из закона всемирного тяготения:

$$ G = \frac{F \cdot r^2}{m_1 \cdot m_2}. $$

После определения значения $ G $, Кавендиш смог вычислить массу Земли. Это связано с тем, что сила тяжести $ F_\text{тяжести} $, действующая на тело массой $ m $ на поверхности Земли, может быть выражена как:

$$ F_\text{тяжести} = m \cdot g, $$

где $ g $ — ускорение свободного падения. С другой стороны, эта сила — это и есть сила гравитационного притяжения между телом и Землёй, которая определяется законом всемирного тяготения:

$$ F_\text{тяжести} = G \cdot \frac{M_\text{Земли} \cdot m}{R_\text{Земли}^2}, $$

где:
− $ M_\text{Земли} $ — масса Земли;
− $ R_\text{Земли} $ — радиус Земли.

Сравнивая два выражения для силы $ F_\text{тяжести} $, получаем:

$$ m \cdot g = G \cdot \frac{M_\text{Земли} \cdot m}{R_\text{Земли}^2}. $$

Сокращая на $ m $, находим:

$$ M_\text{Земли} = \frac{g \cdot R_\text{Земли}^2}{G}. $$

Таким образом, зная $ g $ (ускорение свободного падения на поверхности Земли, которое можно измерить), радиус Земли $ R_\text{Земли} $ (известный из геодезических измерений) и гравитационную постоянную $ G $, Кавендиш смог вычислить массу Земли, что эквивалентно "взвешиванию" нашей планеты.

Что произойдёт на Марсе или Юпитере?
Если проводить аналогичный эксперимент на Марсе или Юпитере, то определение гравитационной постоянной $ G $ остаётся абсолютно таким же. Дело в том, что $ G $ — это универсальная константа, одна и та же во всей Вселенной, и её значение не зависит от планеты или её параметров.

Однако, если мы захотим "взвесить" Марс или Юпитер, мы будем использовать ту же формулу для расчёта массы планеты:

$$ M_\text{планеты} = \frac{g_\text{планеты} \cdot R_\text{планеты}^2}{G}. $$

Где:
− $ g_\text{планеты} $ — ускорение свободного падения на поверхности планеты (для Марса оно равно примерно $ 3,71 \, \text{м/с}^2 $, для Юпитера — около $ 24,79 \, \text{м/с}^2 $);
− $ R_\text{планеты} $ — радиус планеты (средний радиус Марса — $ 3\,390 \, \text{км} $, Юпитера — $ 69\,911 \, \text{км} $).

Так как $ g_\text{планеты} $ и $ R_\text{планеты} $ отличаются для Марса и Юпитера, то и масса планеты, которую можно "взвесить" с помощью этого метода, будет различна. Поэтому результат на других планетах будет зависеть от их гравитационных параметров, но методика останется идентичной той, что использовал Кавендиш на Земле.