На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело, будет в 2 раза меньше, чем на её поверхности?

Для решения данной задачи нужно использовать закон всемирного тяготения Ньютона и понятие гравитационного ускорения. Закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения между двумя телами массами $m_1$ и $m_2$ обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна произведению их масс:

$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

где $F$ — сила притяжения, $G$ — гравитационная постоянная, $r$ — расстояние между центрами масс этих тел.

Для тела массой $m$ на поверхности Земли (с радиусом $R$ и массой $M$) сила тяжести выражается как:

$$ F_0 = G \frac{m M}{R^2} $$

На некоторой высоте $h$ над поверхностью Земли, расстояние от центра Земли до тела будет $R + h$, и сила тяжести составит:

$$ F_h = G \frac{m M}{(R + h)^2} $$

Задача просит найти высоту $h$, при которой сила тяжести $F_h$ будет в 2 раза меньше силы тяжести на поверхности Земли $F_0$. Это условие можно записать как:

$$ F_h = \frac{1}{2} F_0 $$

Подставим выражения для $F_h$ и $F_0$:

$$ G \frac{m M}{(R + h)^2} = \frac{1}{2} G \frac{m M}{R^2} $$

Сократим одинаковые множители $G$, $m$, и $M$ по обе стороны уравнения:

$$ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{2} \frac{1}{R^2} $$

Теперь упростим уравнение:

$$ \frac{1}{(R + h)^2} = \frac{1}{2R^2} $$

Возьмем обратные величины для упрощения:

$$ (R + h)^2 = 2R^2 $$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$$ R + h = \sqrt{2} R $$

Теперь решим это уравнение относительно $h$, выразив $h$:

$$ h = \sqrt{2} R - R $$
$$ h = R(\sqrt{2} - 1) $$

Таким образом, высота $h$ над поверхностью Земли, на которой сила тяжести будет вдвое меньше силы тяжести на поверхности, выражается через радиус Земли $R$ как $R(\sqrt{2} - 1)$.