Радиус планеты Марс примерно в 2 раза меньше радиуса Земли, а масса Марса составляет примерно 0,1 массы Земли. Сравните вес тела одинаковой массы на Земле и на Марсе.
Дано:
$R_{м} = \frac{R_{з}}{2}$;
$M_{м} = 0,1М_{з}$.
$m_{1} = m_{2}$.
Найти:
$\frac{P_{з}}{P_{м}}$ − ?
Решение:
$g = \frac{G * M}{R^{2}}$;
$P = mg = m * \frac{G * M}{R^{2}}$;
$\frac{P_{з}}{P_{м}} = \frac{m_{1} * \frac{G * M_{з}}{R_{з}^{2}}}{m_{2} * \frac{G * M_{м}}{R_{м}^{2}}} = \frac{R_{м}^{2} * M_{з}}{R_{з}^{2} * M_{м}} = \frac{(\frac{R_{з}}{2})^{2} * M_{з}}{R_{з}^{2} * 0,1М_{з}} = \frac{1}{0,4} = 2,5$.
Ответ: На земле вес в 2,5 раза больше.
Для решения задачи необходимо использовать закон всемирного тяготения Ньютона, который описывает взаимодействие двух масс через силу гравитации. Формула силы гравитационного притяжения имеет вид:
$$ F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, $$
где:
− $ F $ — сила гравитационного притяжения,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н·м}^2/\text{кг}^2 $),
− $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел,
− $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.
На поверхности планеты гравитационная сила действует на тело, находящееся вблизи её поверхности. Масса тела, на которое действует сила, обозначается как $ m $, а масса планеты — как $ M $. Расстояние $ r $ в данном случае становится равным радиусу планеты. Вес тела на поверхности планеты можно выразить как:
$$ F = G \cdot \frac{M \cdot m}{R^2}, $$
где $ R $ — радиус планеты.
Вес тела, который мы сравниваем, определяется как сила гравитации, действующая на него со стороны планеты. Значение веса (гравитационной силы) зависит от массы планеты, радиуса планеты и массы тела.
Для сравнения веса тела на Земле и на Марсе, удобно выразить силу тяжести в относительных величинах. Пусть:
− масса Земли равна $ M_{\text{З}} $,
− радиус Земли равен $ R_{\text{З}} $,
− масса Марса равна $ M_{\text{М}} $,
− радиус Марса равен $ R_{\text{М}} $.
Сила тяжести на Земле будет:
$$ F_{\text{З}} = G \cdot \frac{M_{\text{З}} \cdot m}{R_{\text{З}}^2}, $$
а сила тяжести на Марсе:
$$ F_{\text{М}} = G \cdot \frac{M_{\text{М}} \cdot m}{R_{\text{М}}^2}. $$
Теперь подставим соотношения масс и радиусов планет:
− $ M_{\text{М}} = 0.1 \cdot M_{\text{З}} $,
− $ R_{\text{М}} = 0.5 \cdot R_{\text{З}} $.
Подставляя эти значения, вес тела на Марсе относительно веса тела на Земле будет определяться следующим образом:
$$ \frac{F_{\text{М}}}{F_{\text{З}}} = \frac{\frac{G \cdot M_{\text{М}} \cdot m}{R_{\text{М}}^2}}{\frac{G \cdot M_{\text{З}} \cdot m}{R_{\text{З}}^2}}. $$
Гравитационная постоянная $ G $ и масса тела $ m $ сокращаются, так как они одинаковы для обеих планет:
$$ \frac{F_{\text{М}}}{F_{\text{З}}} = \frac{M_{\text{М}}}{M_{\text{З}}} \cdot \frac{R_{\text{З}}^2}{R_{\text{М}}^2}. $$
Теперь подставим соотношения масс и радиусов:
− $ \frac{M_{\text{М}}}{M_{\text{З}}} = 0.1 $,
− $ \frac{R_{\text{З}}}{R_{\text{М}}} = 2 $, следовательно, $ \frac{R_{\text{З}}^2}{R_{\text{М}}^2} = 2^2 = 4 $.
Итак:
$$ \frac{F_{\text{М}}}{F_{\text{З}}} = 0.1 \cdot 4 = 0.4. $$
Таким образом, сила тяжести на Марсе будет составлять $ 0.4 $ от силы тяжести на Земле, то есть вес тела на Марсе будет в 2.5 раза меньше, чем на Земле.
Пожауйста, оцените решение
