Два одинаковых спутника вращаются вокруг Земли по круговым орбитам, радиусы которых в 2 раза и 4 раза больше радиуса Земли. Найдите отношение силы притяжения между Землёй и ближайшим спутником к силе притяжения между Землёй и дальним спутником.
Дано:
$m_{1} = m_{2}$;
$r_{1} = 2R$;
$r_{2} = 4R$.
Найти:
$\frac{F_{1}}{F_{2}}$ − ?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$;
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{\frac{G * Mm_{1}}{r_{1}^{2}}}{\frac{G * Mm_{2}}{r_{2}^{2}}} = \frac{\frac{G * Mm_{1}}{r_{1}^{2}}}{\frac{G * Mm_{1}}{r_{2}^{2}}} = (\frac{r_{2}}{r_{1}})^{2} = (\frac{4R}{2R})^{2} = 4$.
Ответ: 4.
Для решения задачи необходимо понять теоретические основы, связанные с силой гравитационного взаимодействия между двумя телами. Для этого используются законы и понятия, установленные в рамках классической механики, в частности закон всемирного тяготения.
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения между двумя точечными телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Этот закон описывается формулой:
$$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$
где:
− $ F $ — сила гравитационного притяжения,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{кг}^{-2} $),
− $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел,
− $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.
В данной задаче взаимодействие происходит между Землёй и спутниками. Мы предполагаем, что Земля и спутники являются сферическими телами, и их массы могут быть представлены как точечные на уровне центра. Следовательно, расстояние $ r $ между Землёй и спутником — это радиус орбиты спутника.
Масса Земли обозначается как $ M $, а масса спутника — как $ m $. Радиус Земли обозначим как $ R $. Для каждого спутника расстояние до центра Земли будет равно радиусу их орбиты:
1. Для ближайшего спутника радиус орбиты равен $ 2R $,
2. Для дальнего спутника радиус орбиты равен $ 4R $.
Силы притяжения для каждого спутника могут быть записаны, используя закон всемирного тяготения:
1. Сила притяжения для ближайшего спутника:
$$ F_1 = G \frac{M m}{(2R)^2}. $$
Так как нас интересует отношение сил притяжения $ F_1 $ и $ F_2 $, мы должны найти:
$$ \frac{F_1}{F_2}. $$
В этом отношении гравитационная постоянная $ G $, масса Земли $ M $, масса спутника $ m $, и радиус Земли $ R $ сократятся, и важно учитывать только квадраты радиусов орбит.
Пожауйста, оцените решение
