Определите точку на прямой, соединяющей Землю и Луну, в которой равнодействующая сил притяжения Земли и Луны равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.
Дано:
$F_{1} = F_{2}$;
$r = 60R$;
$M_{з} = 81M_{л}$.
Найти:
n − ?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$;
Пусть тело находится от Земли на расстоянии n радиусов, тогда расстояние до Луны равно $(60 - n)R$.
Найдем точку равновесия:
$G * \frac{mM_{з}}{(nR)^{2}} = G * \frac{mM_{л}}{((60 - n)R)^{2}}$;
$\frac{M_{з}}{n^{2}} = \frac{M_{л}}{(60 - n)^{2}}$;
$(60 - n)^{2} * M_{з} = n^{2}M_{л}$;
$(60 - n)^{2} * 81M_{л} = n^{2}M_{л}$;
$(9 * (60 - n))^{2} * M_{л} = n^{2}M_{л}$;
9 * (60 − n) = n;
540 − 9n = n;
10n = 540;
$n = \frac{540}{10} = 54$ радиусов до Земли или
(60 − 54)R = 6 радиусов до Луны.
Ответ: Тело будет притягиваться с одинаковой силой в точке, находящейся на расстоянии 6 земных радиусов от центра Луны или 54 земных радиусов от центра Земли.
Для решения этой задачи понадобится использовать закон всемирного тяготения и понять, как равнодействующая сила притяжения Земли и Луны становится равной нулю. Ниже изложена полная теоретическая основа для понимания задачи:
Закон всемирного тяготения:
Закон всемирного тяготения формулируется следующим образом: сила гравитационного притяжения $ F $ между двумя точечными массами $ m_1 $ и $ m_2 $, находящимися на расстоянии $ r $, описывается уравнением:
$$
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2},
$$
где $ G $ — гравитационная постоянная.
Силы, действующие на тело, находящееся между Землей и Луной:
Если предположить, что тело находится на прямой, соединяющей центры Земли (точка $ Z $) и Луны (точка $ L $), то оно будет испытывать две гравитационные силы:
Эти силы направлены в противоположные стороны, поскольку они действуют в сторону центров соответствующих тел.
Условие равнодействующей силы:
Равнодействующая сила равна нулю в точке, где силы $ F_Z $ и $ F_L $ по модулю равны:
$$
F_Z = F_L.
$$
Выражение сил:
Рассмотрим тело, находящееся на расстоянии $ x $ от Земли и на расстоянии $ r - x $ от Луны, где $ r $ — расстояние между центрами Земли и Луны. Тогда силы притяжения будут выражаться как:
$$
F_Z = G \frac{M_Z m}{x^2}, \quad F_L = G \frac{M_L m}{(r-x)^2},
$$
где:
Приравнивание сил:
По условию равенства сил:
$$
\frac{M_Z}{x^2} = \frac{M_L}{(r-x)^2}.
$$
Массы Земли и Луны:
Условие задачи сообщает, что масса Луны $ M_L $ в 81 раз меньше массы Земли $ M_Z $:
$$
M_L = \frac{M_Z}{81}.
$$
Подстановка масс:
Подставляем соотношение масс в уравнение:
$$
\frac{M_Z}{x^2} = \frac{\frac{M_Z}{81}}{(r-x)^2}.
$$
Упрощение уравнения:
Сокращаем $ M_Z $, которое присутствует в числителях обеих сторон:
$$
\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(r-x)^2}.
$$
Умножаем обе стороны на $ x^2 (r-x)^2 $, чтобы избавиться от знаменателей:
$$
(r-x)^2 = 81x^2.
$$
Пожауйста, оцените решение
