Во сколько раз малая планета Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли, если Плутон удалён от Солнца на расстояние в 40 раз большее, чем Земля? Массы Земли и Плутона приблизительно одинаковы.
Дано:
$m_{1} ≈ m_{2}$;
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = 40$.
Найти:
$\frac{F_{2}}{F_{1}}$ − ?
Решение:
По закону всемирного тяготения:
$F = G * \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$;
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\frac{G * m_{2}m_{c}}{r_{2}^{2}}}{ \frac{G * m_{1}m_{c}}{r_{1}^{2}}}= \frac{m_{2}r_{1}^{2}}{m_{1}r_{2}^{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}} * (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2}$;
Т.к. $m_{1} ≈ m_{2}$, то
$\frac{F_{2}}{F_{1}} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2} = 40^{2} = 1600$.
Ответ: В 1600 раз Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли.
Для решения задачи необходимо использовать закон всемирного тяготения, который был сформулирован Исааком Ньютоном. Закон гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Формула закона всемирного тяготения выглядит следующим образом:
$$ F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}, $$
где:
− $ F $ — сила взаимного притяжения между двумя телами,
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $),
− $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел,
− $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.
Сравнение расстояний:
Условие задачи гласит, что расстояние от Плутона до Солнца в 40 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца. Если обозначить расстояние от Земли до Солнца как $ r_{\text{Земля}} $, то расстояние от Плутона до Солнца будет равно $ r_{\text{Плутон}} = 40 \cdot r_{\text{Земля}} $.
Сравнение масс:
В условии также указано, что массы Земли и Плутона приблизительно одинаковы. Таким образом, $ m_{\text{Земля}} \approx m_{\text{Плутон}} $.
Сила притяжения:
Сила притяжения между Солнцем и Землей может быть записана как:
$$ F_{\text{Земля}} = G \frac{m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Земля}}}{r_{\text{Земля}}^2}. $$
Сила притяжения между Солнцем и Плутоном, соответственно:
$$ F_{\text{Плутон}} = G \frac{m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Плутон}}}{r_{\text{Плутон}}^2}. $$
Сравнение сил:
Чтобы понять, во сколько раз сила притяжения к Солнцу для Плутона меньше, чем для Земли, необходимо найти отношение этих сил:
$$ \frac{F_{\text{Плутон}}}{F_{\text{Земля}}} = \frac{\frac{G \cdot m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Плутон}}}{r_{\text{Плутон}}^2}}{\frac{G \cdot m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Земля}}}{r_{\text{Земля}}^2}}. $$
Упрощение выражения:
Поскольку $ m_{\text{Плутон}} \approx m_{\text{Земля}} $, а $ r_{\text{Плутон}} = 40 \cdot r_{\text{Земля}} $, подставим это в формулу:
$$ \frac{F_{\text{Плутон}}}{F_{\text{Земля}}} = \frac{m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Плутон}}}{(40 \cdot r_{\text{Земля}})^2} \cdot \frac{r_{\text{Земля}}^2}{m_{\text{Солнце}} \cdot m_{\text{Земля}}}. $$
Сокращаем одинаковые величины:
$$ \frac{F_{\text{Плутон}}}{F_{\text{Земля}}} = \frac{1}{40^2}. $$
Пожауйста, оцените решение
