Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $v_{0}$, тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости v в момент касания земли.
При движении вверх тело двигается с замедлением g, пока его скорость не достигает нуля.
$v_{1} = v_{01} - gt_{1} = 0$;
$v_{01} = gt_{1}$;
При движении вниз тело двигается с ускорением g без начальной скорости.
$v_{2} = v_{02} + gt_{2}$;
Т.к. $v_{02} = 0$, то $v_{2} = gt_{2}$;
При отсутствии сопротивления воздуха время $t_{1}$ поднятия тела на высоту h равно времени $t_{2}$ падения его с этой высоты.
Т.к. $t_{1} = t_{2} = t$, то
$v_{01} = gt$;
$v_{2} = gt$.
$v_{01} = v$.
При отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $v_{0}$, тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости v в момент касания земли.
Для доказательства утверждения о том, что начальная скорость $ v_0 $ тела, брошенного вертикально вверх, равна его скорости $ v $ в момент касания земли при отсутствии сопротивления воздуха, необходимо рассмотреть движение тела с точки зрения законов механики, в частности, использования законов кинематики и закона сохранения энергии.
При движении тела вблизи поверхности Земли оно испытывает действие силы тяжести, которая вызывает постоянное ускорение вниз. Это ускорение обозначается через $ g $ и примерно равно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $. Ускорение $ g $ действует на тело на всем протяжении его движения.
Для описания вертикального движения тела можно воспользоваться уравнениями кинематики, которые применяются для движения с постоянным ускорением. Основные формулы:
Скорость тела в любой момент времени:
$$
v = v_0 - g t,
$$
где $ v_0 $ — начальная скорость, $ t $ — время движения, $ g $ — ускорение свободного падения. Знак $ - $ перед $ g t $ указывает на то, что ускорение действует в направлении, противоположном начальной скорости.
Перемещение тела за время $ t $:
$$
h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2,
$$
где $ h $ — высота, на которую поднимется тело.
В идеальных условиях, при отсутствии сопротивления воздуха, механическая энергия тела сохраняется. Механическая энергия состоит из двух компонентов:
− Кинетическая энергия ($ E_\text{к} = \frac{1}{2} m v^2 $, где $ v $ — скорость тела, $ m $ — масса тела),
− Потенциальная энергия ($ E_\text{п} = m g h $, где $ h $ — высота, на которой находится тело).
В начале движения тело обладает только кинетической энергией:
$$
E_\text{кнач} = \frac{1}{2} m v_0^2.
$$
В верхней точке вся кинетическая энергия тела преобразуется в потенциальную:
$$
E_\text{пверх} = m g h_\text{макс},
$$
где $ h_\text{макс} $ — максимальная высота подъема.
При падении тело возвращается в исходную точку. В момент касания земли вся потенциальная энергия снова преобразуется в кинетическую:
$$
E_\text{ккон} = \frac{1}{2} m v^2,
$$
где $ v $ — скорость тела в момент касания земли.
Согласно закону сохранения энергии:
$$
E_\text{кнач} = E_\text{пверх} = E_\text{ккон}.
$$
Подставим выражения для энергии:
$$
\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h_\text{макс} = \frac{1}{2} m v^2.
$$
Сокращая массу $ m $ (которая не влияет на результат), получаем:
$$
v_0^2 = v^2.
$$
Следовательно:
$$
v_0 = v.
$$
Важно отметить, что начальная скорость $ v_0 $ направлена вверх, а конечная скорость $ v $ в момент касания земли направлена вниз. Таким образом, скорости равны по модулю, но противоположны по направлению.
При отсутствии сопротивления воздуха начальная скорость $ v_0 $ тела, брошенного вертикально вверх, равна конечной скорости $ v $ при касании земли по модулю, что подтверждается законом сохранения энергии и законами кинематики.
Пожауйста, оцените решение
