Докажите, что при отсутствии сопротивления воздуха время $t_{1}$ поднятия тела на высоту h равно времени $t_{2}$ падения его с этой высоты.

Для доказательства того, что время подъема тела на высоту $ h $ равно времени его падения с этой высоты (при отсутствии сопротивления воздуха), нам потребуется рассмотреть законы движения тела под действием силы тяжести. В основе этого доказательства лежит анализ симметрии движения и применение уравнений кинематики для равноускоренного движения.

1. Физическая модель Рассмотрим тело, подброшенное вертикально вверх с начальной скоростью $ v_0 $. Под действием силы тяжести тело движется с ускорением $ g $, направленным вниз. Мы предполагаем, что сопротивление воздуха отсутствует, и поэтому применение законов равнопеременного прямолинейного движения становится корректным.

1. Подъем тела При движении тела вверх его скорость постепенно уменьшается из−за действия силы тяжести. В момент времени, когда тело достигает максимальной высоты $ h $, его скорость становится равной нулю ($ v = 0 $). Для определения времени подъема используем уравнение:

$$ v = v_0 - g t_1, $$
где $ t_1 $ — время подъема. Подставляем $ v = 0 $ для момента достижения максимальной высоты:

$$ 0 = v_0 - g t_1. $$

Решая это уравнение относительно $ t_1 $, находим:

$$ t_1 = \frac{v_0}{g}. $$

1. Максимальная высота Чтобы определить максимальную высоту $ h $, на которую поднимается тело, используем уравнение движения:

$$ h = v_0 t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2. $$

Подставляем $ t_1 = \frac{v_0}{g} $:

$$ h = v_0 \cdot \frac{v_0}{g} - \frac{1}{2} g \left( \frac{v_0}{g} \right)^2. $$

Упрощаем:

$$ h = \frac{v_0^2}{g} - \frac{1}{2} \cdot \frac{v_0^2}{g} = \frac{v_0^2}{2g}. $$

Таким образом, максимальная высота $ h $ определяется через начальную скорость и ускорение свободного падения:

$$ h = \frac{v_0^2}{2g}. $$

1. Падение тела Теперь рассмотрим обратный процесс — падение тела с высоты $ h $. При падении тело начинает двигаться из состояния покоя ($ v_0 = 0 $) под действием силы тяжести. Его движение описывается следующим уравнением:

$$ h = \frac{1}{2} g t_2^2, $$
где $ t_2 $ — время падения с высоты $ h $.

Решая это уравнение относительно $ t_2 $, находим:

$$ t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}. $$

1. Сравнение времени подъема и падения Подставим выражение для высоты $ h = \frac{v_0^2}{2g} $ в уравнение для времени падения:

$$ t_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{v_0^2}{2g}}{g}}. $$

Упрощаем:

$$ t_2 = \sqrt{\frac{v_0^2}{g^2}} = \frac{v_0}{g}. $$

Мы видим, что:

$$ t_2 = t_1. $$

1. Вывод Время подъема тела на высоту $ h $ равно времени его падения с этой высоты ($ t_1 = t_2 $). Это равенство следует из симметрии движения: ускорение при подъеме и падении имеет одинаковую величину ($ g $), но противоположные направления, а начальная и конечная скорости зависят от времени одинаковым образом.