Мальчик прыгает в длину. Под каким углом к горизонту совершены прыжки, если:
а) дальность полёта L больше максимальной высоты полёта Н в 3 раза;
б) L = Н?

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

ГДЗ Физика 7-9 классы сборник вопросов и задач к учебнику Перышкина автор Марон. Свободное падение тел. Номер №1564

Решение а

Дано:
L = 3H.
Найти:
α − ?
Решение:
Решение рисунок 1
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{0y} + g_{y}t$;
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac {g_{y}t^{2}}{2}$;
Т.к. $v_{0y} = v_{0}sinα$; $g_{y} = -g$; y = H; $y_{0} = 0$, $v_{y} = 0$,то
$0 = v_{0}sinα - gt$;
$t = \frac{v_{0}sinα}{g}$;
$H = (v_{0}sinα)t - \frac {gt^{2}}{2} =(v_{0}sinα) * \frac{v_{0}sinα}{g} - \frac {g (\frac{v_{0}sinα}{g})^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{g} - \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g} = \frac{2v_{0}^{2}sin^{2}α - v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g} = \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}$;
В данной системе отсчета движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}cosα$; x = L, то:
$L = (v_{0}cosα) * 2t = (v_{0}cosα) * 2 * \frac{v_{0}sinα}{g} = \frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g}$;
L = 3H;
$\frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g} = \frac{3v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}$;
$\frac{\frac{3v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}}{\frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g}} = 1$;
$\frac{3sinα}{4cosα} = 1$;
$tgα = \frac{4}{3} = 1,33$;
α = arctg(1,33) = 53°.
Ответ: 53°.

Решение б

Дано:
L = H.
Найти:
α − ?
Решение:
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{0y} + g_{y}t$;
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac {g_{y}t^{2}}{2}$;
Т.к. $v_{0y} = v_{0}sinα$; $g_{y} = -g$; y = H; $y_{0} = 0$, $v_{y} = 0$,то
$0 = v_{0}sinα - gt$;
$t = \frac{v_{0}sinα}{g}$;
$H = (v_{0}sinα)t - \frac {gt^{2}}{2} =(v_{0}sinα) * \frac{v_{0}sinα}{g} - \frac {g (\frac{v_{0}sinα}{g})^{2}}{2} = \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{g} - \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g} = \frac{2v_{0}^{2}sin^{2}α - v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g} = \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}$;
В данной системе отсчета движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}cosα$; x = L, то:
$L = (v_{0}cosα) * 2t = (v_{0}cosα) * 2 * \frac{v_{0}sinα}{g} = \frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g}$;
L = H;
$\frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g} = \frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}$;
$\frac{\frac{v_{0}^{2}sin^{2}α}{2g}}{\frac{2v_{0}^{2}sinαcosα}{g}} = 1$;
$\frac{sinα}{4cosα} = 1$;
$tgα = 4$;
α = arctg(4) = 76°.
Ответ: 76°.

Теория по заданию

Для решения задачи о прыжках в длину мальчика важно разобраться с основами движения тела, брошенного под углом к горизонту, и понять, как дальность полёта и максимальная высота зависят от угла бросания.

Теоретическая часть:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту Когда тело бросают под углом $ \alpha $ к горизонту, оно движется по траектории, которая является параболой. Движение можно разделить на два компонента:
- Горизонтальное движение с начальной скоростью $ v_{0x} = v_0 \cos \alpha $, где $ v_0 $ — начальная скорость.
- Вертикальное движение с начальной скоростью $ v_{0y} = v_0 \sin \alpha $ под действием силы тяжести.

Сила тяжести действует только на вертикальную составляющую движения, вызывая замедление подъёма и последующее ускорение при падении. Горизонтальная составляющая движения остаётся постоянной, так как сила тяжести не влияет на горизонтальное движение.

Выражение дальности полёта $ L $ Дальность полёта $ L $ определяется как расстояние, пройденное телом по горизонтали за всё время полёта $ t_{\text{общее}} $. Поскольку горизонтальное движение равномерное: $$ L = v_0 \cos \alpha \cdot t_{\text{общее}}. $$

Общее время полёта находится из анализа вертикального движения. Подъём и падение происходят симметрично, поэтому общее время полёта:
$$ t_{\text{общее}} = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}, $$
где $ g $ — ускорение свободного падения (приблизительно $ 9,8 \, \text{м/с}^2 $).

Подставляя $ t_{\text{общее}} $ в выражение для $ L $, получаем:
$$ L = v_0 \cos \alpha \cdot \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}. $$
Используя тригонометрическую формулу $ 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha $, дальность полёта можно записать в виде:
$$ L = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}. $$

Выражение максимальной высоты $ H $ Максимальная высота $ H $ достигается в верхней точке траектории, где вертикальная скорость $ v_{y} $ становится равной нулю. Используя законы кинематики, максимальная высота находится из формулы: $$ H = \frac{v_{0y}^2}{2g}. $$ Подставляя $ v_{0y} = v_0 \sin \alpha $, получаем: $$ H = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}. $$ После упрощения: $$ H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}. $$

Связь между $ L $ и $ H $ Чтобы решить задачу, необходимо установить связь между дальностью $ L $ и максимальной высотой $ H $. Для этого мы делим $ L $ на $ H $: $$ \frac{L}{H} = \frac{\frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}}{\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}}. $$ Сокращая $ v_0^2 $ и $ g $, получаем: $$ \frac{L}{H} = \frac{\sin 2\alpha}{\frac{\sin^2 \alpha}{2}}. $$ Упростим выражение: $$ \frac{L}{H} = \frac{2 \sin 2\alpha}{\sin^2 \alpha}. $$ Раскрывая $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, получаем: $$ \frac{L}{H} = \frac{4 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}. $$ Сокращая $ \sin \alpha $, находим: $$ \frac{L}{H} = 4 \cot \alpha, $$ где $ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $ — котангенс угла.

Решение условий задачи Условия задачи подразумевают нахождение угла $ \alpha $ при заданных соотношениях $ L $ и $ H $: а) $ L = 3H $: $$ 3 = 4 \cot \alpha. $$ Из этого уравнения можно найти $ \cot \alpha $, а затем определить угол $ \alpha $.

б) $ L = H $:
$$ 1 = 4 \cot \alpha. $$
Здесь также можно найти $ \cot \alpha $ и соответствующий угол $ \alpha $.

Итак, задача сводится к вычислению угла $ \alpha $ из соотношения $ \frac{L}{H} = 4 \cot \alpha $, где $ \frac{L}{H} $ задано.