Спортсмен на Земле (g = 9,8 $м/с^{2}$) толкнул ядро на 20 м. На какое расстояние полетело бы это ядро при тех же условиях на Марсе (g = 3,7 $м/с^{2}$); на Юпитере (g = 23 $м/с^{2}$)?
Дано:
$g_{1} = 9,8 м/с^{2}$;
$g_{2} = 3,7 м/с^{2}$;
$l_{1} = 20$ м;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
$l_{2}$ − ?
Решение:
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{0y} + g_{y}t$;
Т.к. $v_{0y} = v_{0}sinα$; $g_{y} = -g$; $v_{y} = 0$, то
$0 = v_{0}sinα - gt$;
$v_{0}sinα = gt$;
$t = \frac{v_{0}sinα}{g}$
В данной системе отсчета движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}sosα$; x = l, то:
$l = v_{0}sosα * 2t = v_{0}sosα * 2 * \frac{v_{0}sinα}{g} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g}$;
Тогда
$l_{1} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{1}}$;
$l_{2} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{2}}$;
$\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{\frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{1}}}{\frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{2}}} = \frac{g_{2}}{g_{1}} $;
$l_{2} = \frac{l_{1}g_{1}}{g_{2}}$;
$l_{2} = \frac{20 * 9,8}{3,7} = 53$ м.
Ответ: 53 м.
Дано:
$g_{1} = 9,8 м/с^{2}$;
$g_{2} = 23 м/с^{2}$;
$l_{1} = 20$ м;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
$l_{2}$ − ?
Решение:
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$v_{y} = v_{0y} + g_{y}t$;
Т.к. $v_{0y} = v_{0}sinα$; $g_{y} = -g$; $v_{y} = 0$, то
$0 = v_{0}sinα - gt$;
$v_{0}sinα = gt$;
$t = \frac{v_{0}sinα}{g}$
В данной системе отсчета движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}sosα$; x = l, то:
$l = v_{0}sosα * 2t = v_{0}sosα * 2 * \frac{v_{0}sinα}{g} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g}$;
Тогда
$l_{1} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{1}}$;
$l_{2} = \frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{2}}$;
$\frac{l_{1}}{l_{2}} = \frac{\frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{1}}}{\frac{2v_{0}^{2}sinsαcosα}{g_{2}}} = \frac{g_{2}}{g_{1}} $;
$l_{2} = \frac{l_{1}g_{1}}{g_{2}}$;
$l_{2} = \frac{20 * 9,8}{23} = 8,5$ м.
Ответ: 8,5 м.
Для решения этой задачи нужно опираться на основные законы механики, особенно на уравнения, которые описывают движение тела, брошенного под углом к горизонту. Основные параметры, влияющие на дальность полета, включают начальную скорость броска, угол броска, а также ускорение свободного падения $ g $, которое зависит от гравитации той планеты, на которой происходит движение. Рассмотрим теоретическую часть шаг за шагом.
1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Тело, брошенное под углом к горизонту (в данном случае ядро), движется по траектории, которая описывается уравнением параболы. Дальность полета зависит от начальной скорости, угла броска и гравитационного ускорения.
Обозначим:
− $ v_0 $ — начальная скорость броска;
− $ \alpha $ — угол броска относительно горизонта;
− $ g $ — ускорение свободного падения.
2. Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости
Начальная скорость $ v_0 $ может быть разложена на две составляющие:
− Горизонтальная составляющая скорости: $ v_{0x} = v_0 \cos\alpha $;
− Вертикальная составляющая скорости: $ v_{0y} = v_0 \sin\alpha $.
3. Движение вдоль вертикальной оси ($ y $)
Движение вдоль вертикальной оси происходит под действием силы тяжести, и его ускорение равно $ -g $. Высота $ y $ в любой момент времени $ t $ определяется уравнением:
$$
y = v_{0y}t - \frac{1}{2} g t^2.
$$
Тело достигает максимальной высоты, когда его вертикальная скорость становится равной нулю. Это происходит в момент времени:
$$
t_{\text{вверх}} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}.
$$
Общее время полета $ T $ — это время, за которое тело поднимется до максимальной высоты и затем упадет обратно. Поскольку движение симметрично относительно высшей точки траектории, общее время полета равно:
$$
T = 2t_{\text{вверх}} = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}.
$$
4. Движение вдоль горизонтальной оси ($ x $)
Движение вдоль горизонтальной оси происходит равномерно, так как на тело не действует ускорение вдоль этой оси (мы пренебрегаем сопротивлением воздуха). Пройденное расстояние (дальность полета) $ L $ определяется формулой:
$$
L = v_{0x} \cdot T,
$$
где $ v_{0x} = v_0 \cos\alpha $ — горизонтальная составляющая начальной скорости.
Подставляя выражение для времени полета $ T $, получаем:
$$
L = v_0 \cos\alpha \cdot \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}.
$$
Используя тригонометрическое тождество $ 2\sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha) $, формулу для дальности можно записать в виде:
$$
L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.
$$
5. Влияние ускорения свободного падения на дальность полета
Из формулы $ L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} $ видно, что дальность полета обратно пропорциональна ускорению свободного падения $ g $. Если начальная скорость $ v_0 $ и угол броска $ \alpha $ остаются неизменными, то отношение дальностей полета на разных планетах определяется как обратное отношение ускорений свободного падения:
$$
\frac{L_1}{L_2} = \frac{g_2}{g_1}.
$$
Отсюда можно выразить дальность полета на другой планете:
$$
L_2 = L_1 \cdot \frac{g_1}{g_2}.
$$
6. Применение к конкретной задаче
В задаче дано:
− Дальность полета на Земле: $ L_{\text{Земля}} = 20 \, \text{м} $;
− Ускорение свободного падения на Земле: $ g_{\text{Земля}} = 9{,}8 \, \text{м/с}^2 $;
− Ускорение свободного падения на Марсе: $ g_{\text{Марс}} = 3{,}7 \, \text{м/с}^2 $;
− Ускорение свободного падения на Юпитере: $ g_{\text{Юпитер}} = 23 \, \text{м/с}^2 $.
Для определения дальности полета на Марсе и Юпитере нужно использовать формулу:
$$
L_{\text{Марс}} = L_{\text{Земля}} \cdot \frac{g_{\text{Земля}}}{g_{\text{Марс}}},
$$
$$
L_{\text{Юпитер}} = L_{\text{Земля}} \cdot \frac{g_{\text{Земля}}}{g_{\text{Юпитер}}}.
$$
Таким образом, дальность полета на других планетах зависит только от отношения ускорений свободного падения.
Пожауйста, оцените решение
