Два тела начали свободно падать с одной и той же высоты одно вслед за другим через 5 с. Через какое время, считая от начала движения первого тела, расстояние между телами будет равно 200 м?

Для решения задачи, необходимо учитывать законы движения тел под действием силы тяжести, а также использовать формулы равномерно ускоренного движения. Разберем теоретическую часть подробно.

Свободное падение
Свободным падением называется движение тела только под действием силы тяжести, без учета сопротивления воздуха. При свободном падении тело движется равномерно ускоренно, с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $ g $ (примерно $ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $ на Земле).

Ускорение свободного падения
Ускорение свободного падения $ g $ влияет на изменение скорости и перемещение тела. Если тело начинает падение с покоя, то его скорость в момент времени $ t $ определяется формулой:
$$ v = g \cdot t $$
где:
− $ v $ — скорость тела в момент времени $ t $,
− $ g $ — ускорение свободного падения,
− $ t $ — время падения.

Перемещение тела при свободном падении
Перемещение тела при свободном падении с начальной скоростью $ v_0 = 0 $ описывается уравнением:
$$ h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 $$
где:
− $ h $ — высота (перемещение) тела в момент времени $ t $,
− $ g $ — ускорение свободного падения,
− $ t $ — время падения.

Особенности задачи
В задаче есть два тела: первое тело начинает падение раньше второго, а второе тело стартует с задержкой в 5 секунд. Это значит, что у первого тела в любой момент времени будет больше времени падения, чем у второго. Необходимо определить, через сколько времени после начала падения первого тела расстояние между этими двумя падающими телами станет равным 200 м.

Перемещение первого тела
Для первого тела перемещение описывается формулой:
$$ h_1 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 $$
где:
− $ h_1 $ — высота, пройденная первым телом,
− $ g $ — ускорение свободного падения,
− $ t_1 $ — время падения первого тела.

Перемещение второго тела
Второе тело начинает падение спустя 5 секунд. Если обозначить время падения второго тела как $ t_2 $, то оно связано с временем падения первого тела так:
$$ t_2 = t_1 - 5 $$
Перемещение второго тела будет описываться формулой:
$$ h_2 = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_2^2 $$
где:
− $ h_2 $ — высота, пройденная вторым телом,
− $ t_2 $ — время падения второго тела.

Расстояние между телами
Расстояние между двумя телами, то есть разность их перемещений, можно записать как:
$$ \Delta h = h_1 - h_2 $$
Подставляя выражения для $ h_1 $ и $ h_2 $, получаем:
$$ \Delta h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_2^2 $$
Подставляем $ t_2 = t_1 - 5 $:
$$ \Delta h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (t_1 - 5)^2 $$
Раскрываем скобки:
$$ \Delta h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot (t_1^2 - 10 \cdot t_1 + 25) $$
Упрощаем выражение:
$$ \Delta h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot t_1^2 + \frac{1}{2} \cdot g \cdot 10 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 25 $$
$$ \Delta h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot 10 \cdot t_1 - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 25 $$
$$ \Delta h = 5 \cdot g \cdot t_1 - \frac{25}{2} \cdot g $$

Условие задачи
По условию задачи, расстояние между телами становится равным 200 м, то есть:
$$ \Delta h = 200 $$
Подставляем это значение в уравнение:
$$ 200 = 5 \cdot g \cdot t_1 - \frac{25}{2} \cdot g $$
Это уравнение можно решить для $ t_1 $ (времени падения первого тела), чтобы найти момент времени, когда расстояние между телами станет 200 м.