Определите высоту Останкинской телевизионной башни, если шарик, падая с башни без начальной скорости, последние 185 м пути пролетел за 2 с.
Дано:
t = 2 c;
h = 185 м;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
H − ?
Решение:
Уравнение движения:
$h = v_{0}t + \frac {gt^{2}}{2}$;
Найдем скорость шарика на высоте h = 185 м:
$v_{0}t = h - \frac {gt^{2}}{2}$;
$v_{0} = \frac{h - {\frac {gt^{2}}{2}}}{{t}} = \frac{2h - gt^{2}}{2t}$;
$v_{0} = \frac{2 * 185 - 10 * 2^{2}}{2 * 2} = 82,5$ м/с;
Найдем конечную скорость шарика:
$h = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2g}$;
$2hg = v^{2} - v_{0}^{2}$;
$v^{2} = 2hg + v_{0}^{2}$;
$v = \sqrt {2hg + v_{0}^{2}}$;
$v = \sqrt {2 * 185 * 10 + 82,5^{2}} = 102,5$;
Найдем высоту, с которой упал шарик без начальной скорости:
$h = \frac{102,5^{2} - 0^{2}}{2 * 10} = 525$ м.
Ответ: 525 м.
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся законами кинематики, которые описывают движение тел с постоянным ускорением. В данном случае тело (шарик) падает под действием силы тяжести, поэтому ускорение будет равно ускорению свободного падения $ g $, которое приблизительно равно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $.
Уравнение скорости:
$$
v = v_0 + g \cdot t,
$$
где $ v $ — скорость тела в данный момент времени, $ v_0 $ — начальная скорость (в данном случае $ v_0 = 0 $), $ g $ — ускорение свободного падения, $ t $ — время падения.
Уравнение пути:
$$
S = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2,
$$
где $ S $ — путь, пройденный телом за время $ t $.
Связь между скоростью и пройденным путем:
$$
v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot S,
$$
где $ v^2 $ — квадрат скорости тела после прохождения пути $ S $.
В задаче говорится, что последние 185 метров пути шарик пролетел за 2 секунды. Это позволяет сделать несколько важных выводов:
1. Начальная скорость для последних 185 метров — это скорость шарика в момент, когда он только начинает преодолевать эти 185 метров. Она не равна нулю, поскольку шарик уже находился в состоянии свободного падения до этого момента.
2. Общее время падения — требуется определить, чтобы найти высоту башни.
Для решения задачи сначала нужно определить начальную скорость $ v_0 $ для последних 185 метров, затем найти общее время падения шарика, а затем высоту башни.
Определение начальной скорости $ v_0 $ на участке в 185 м:
Используем уравнение пути:
$$
S = v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2.
$$
Подставляя $ S = 185 \, \text{м} $, $ t = 2 \, \text{с} $, и $ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $, можно найти $ v_0 $, скорость шарика в начале этого участка.
Определение скорости $ v $ в конце последних 185 м:
Используем уравнение скорости:
$$
v = v_0 + g \cdot t.
$$
Подставляем $ v_0 $, найденное на предыдущем шаге, $ g $, и $ t = 2 \, \text{с} $, чтобы найти скорость шарика в момент, когда он достиг земли.
Определение общего времени падения:
Используем связь между конечной скоростью $ v $ и временем:
$$
v = g \cdot T,
$$
где $ T $ — общее время падения. Зная конечную скорость $ v $, можно найти $ T $.
Определение высоты башни:
Используем уравнение пути для всего времени падения:
$$
H = \frac{1}{2} g \cdot T^2.
$$
Подставляем $ T $, найденное ранее, чтобы вычислить высоту башни $ H $.
Итак, для решения задачи последовательно:
− Найдите начальную скорость $ v_0 $ для участка в 185 м.
− Найдите конечную скорость $ v $ после прохождения этого участка.
− Определите общее время падения $ T $ шарика.
− Рассчитайте высоту башни $ H $ с использованием общего времени падения.
Задача требует аккуратного использования формул кинематики и последовательного вычисления каждой величины.
Пожауйста, оцените решение
