Ракета на высоте Н = 50 км после прекращения работы двигателей приобрела горизонтальную скорость v = 1 км/с. Определите дальность полёта ракеты АС, если АВ = З0 км (рис. 249). Принять g = 10 $м/с^{2}$. Кривизну земной поверхности не учитывать.
рис. 249
Дано:
H = 50 км;
v = 1 км/с;
AB = 30 км;
g ≈ 10 $м/с^{2}$.
Найти:
AC − ?
СИ:
H = 50 000 м;
v = 1 000 м/с.
Решение:
В данной системе отсчета движение вдоль вертикальной оси Оy равноускоренное.
$y = y_{0} + v_{0y}t + \frac {g_{y}t^{2}}{2}$;
Т.к. $v_{0y} = 0$; $g_{y} = g$; y = h; $y_{0} = 0$, то
$h =\frac {gt^{2}}{2}$;
$2h = gt^{2}$;
$t^{2} = \frac{2h}{g}$;
$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$;
$t = \sqrt{\frac{2 * 50 000}{10}} = 100$ с;
В данной системе отсчета движение вдоль горизонтальной оси Оx равномерное.
$v_{x} = v_{0x}$;
$x = x_{0} + v_{0x}t$;
Т.к. $x_{0} = 0$; $v_{0x} = v_{0}$; x = BC, то:
$BC= v_{0}t$;
BC = 1 000 * 100 = 100 000 м = 100 км.
AC = AB + BC;
AC = 30 + 100 = 130 км.
Ответ: 130 км.
Для решения этой задачи нужно учитывать законы механики и движения тела, брошенного горизонтально. Рассмотрим основные теоретические положения:
1. Движение тела в поле земного тяготения
Любое тело, находящееся в поле земного тяготения, испытывает действие силы тяжести, которая характеризуется ускорением свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$. Это ускорение действует на тело вертикально вниз.
Если тело имеет начальную горизонтальную скорость, то его траектория будет представлять собой параболу, поскольку на тело одновременно действуют:
− горизонтальное движение с постоянной скоростью $v_x = v$;
− вертикальное ускоренное движение под действием силы тяжести $g$.
2. Горизонтальное движение
Горизонтальная составляющая скорости тела не изменяется, так как на тело не действует сила, способная изменить его горизонтальную скорость. Поэтому:
$$
x = v \cdot t
$$
где:
− $x$ — горизонтальное перемещение,
− $v$ — горизонтальная скорость,
− $t$ — время движения.
3. Вертикальное движение
Вертикальная составляющая движения описывается законом равноускоренного движения без начальной скорости:
$$
y = \frac{1}{2} g t^2
$$
где:
− $y$ — вертикальное перемещение,
− $g$ — ускорение свободного падения,
− $t$ — время падения.
Так как тело начинает движение на высоте $H$, то полный путь вниз будет равен $H$. Для определения времени падения тела можно использовать:
$$
H = \frac{1}{2} g t^2
$$
Отсюда:
$$
t = \sqrt{\frac{2H}{g}}
$$
4. Общая дальность полёта
Дальность полёта $AC$ состоит из двух частей:
− Горизонтальное перемещение, которое ракета совершает во время движения до достижения земли.
− Гипотетическая начальная горизонтальная составляющая $AB$, заданная как 30 км в условии задачи.
Для определения дальности $AC$, нужно сложить $AB$ и $BC$, где $BC$ — горизонтальное перемещение ракеты во время её падения:
$$
BC = v \cdot t
$$
Итак:
$$
AC = AB + BC = AB + v \cdot t
$$
5. Итоговая формула
Подставляя ранее найденное значение времени $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ в выражение для $BC$, получаем:
$$
AC = AB + v \cdot \sqrt{\frac{2H}{g}}
$$
6. Задача
В задаче даны:
− $H = 50 \, \text{км} = 50 \cdot 1000 \, \text{м} = 50000 \, \text{м}$,
− $g = 10 \, \text{м/с}^2$,
− $v = 1 \, \text{км/с} = 1000 \, \text{м/с}$,
− $AB = 30 \, \text{км} = 30000 \, \text{м}$.
Эти значения нужно подставить в рассчитанные формулы, чтобы найти полный путь $AC$.
Пожауйста, оцените решение
