Мяч, брошенный горизонтально с высоты 4 м над землёй, упал на расстоянии 12 м от места бросания. Найдите начальную и конечную скорости мяча.

Теоретическая часть для решения задачи

Чтобы решить задачу о движении мяча, брошенного горизонтально, важно вспомнить основные понятия кинематики. Такая задача представляет собой пример движения тела в поле силы тяжести, при котором можно разложить его на два независимых компонента:

1. Горизонтальное движение (по оси $x$), происходящее с постоянной скоростью, так как в этом направлении ускорение равно нулю.
2. Вертикальное движение (по оси $y$), под действием силы тяжести, с ускорением $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$.

Для анализа будем использовать следующие законы и формулы.

Горизонтальное движение

1. Уравнение движения: $$ x = v_x \cdot t, $$ где:
   • $x$ — пройденное расстояние по горизонтали (в данном случае 12 м),
   • $v_x$ — горизонтальная скорость, которую мяч сохраняет неизменной,
   • $t$ — время полета мяча.

Горизонтальная скорость мяча равна начальной скорости, так как на него не действуют силы в этом направлении.

Вертикальное движение

1. Уравнение для координаты: $$ y = \frac{1}{2} g t^2, $$ где:
   • $y$ — вертикальное перемещение (в данном случае 4 м, так как мяч падает с высоты 4 м до земли),
   • $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения,
   • $t$ — время полета.

Из этого уравнения можно найти время $t$, которое потребуется мячу, чтобы упасть с высоты 4 м, если подставить известные значения.

Связь начальной и конечной скоростей

1. Скорость в момент времени $t$: Горизонтальная скорость не меняется, и её величина равна $v_x$ (она совпадает с начальной скоростью). Вертикальная скорость $v_y$ меняется со временем, так как на нее действует сила тяжести. Вертикальная компонента скорости в момент падения определяется по формуле: $$ v_y = g \cdot t. $$

Конечная скорость мяча $v$ (векторная сумма горизонтальной и вертикальной составляющих скорости) рассчитывается по теореме Пифагора:
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. $$

Алгоритм решения

1. Найти время падения $t$ мяча, используя уравнение вертикального движения:
   $$ y = \frac{1}{2} g t^2. $$

2. Подставить найденное $t$ в уравнение горизонтального движения, чтобы вычислить горизонтальную скорость $v_x$:
   $$ x = v_x \cdot t. $$

3. Определить вертикальную скорость $v_y$ в момент падения:
   $$ v_y = g \cdot t. $$

4. Найти модуль конечной скорости $v$, используя Пифагорову теорему:
   $$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. $$

Эти шаги позволят определить начальную горизонтальную скорость $v_x$ и конечную скорость $v$ мяча.