На высоте 30 км двигатели метеорологической ракеты прекратили работу, сообщив ей вертикальную скорость 1 км/с. Какой наибольшей высоты достигнет ракета? На какой высоте окажется ракета через 10 с после прекращения работы двигателей?

Для решения задачи необходимо использовать законы кинематики и динамики. Давайте разберем теоретическую часть, чтобы понять, как можно подойти к вычислениям.

1. Законы кинематики:

   • Уравнения кинематики используются для описания движения тела по прямой линии с учетом начальной скорости, времени, ускорения и перемещения.
   • Основное уравнение для движения с постоянным ускорением: $ h = h_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $, где:
   • $ h $ — конечная высота,
   • $ h_0 $ — начальная высота,
   • $ v_0 $ — начальная скорость,
   • $ t $ — время движения,
   • $ a $ — ускорение (в данном случае — ускорение свободного падения, $-g$, направленное вниз).

2. Ускорение свободного падения:

   • Ускорение свободного падения $ g $ на поверхности Земли составляет примерно $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $. На высоте 30 км от поверхности Земли оно немного меньше, но в рамках школьного курса можно считать его неизменным.

3. Движение тела вверх:

   • Когда ракета движется вверх после прекращения работы двигателей, её движение определяется инерцией (начальная скорость $ v_0 $) и действием силы тяжести, которая замедляет её движение.
   • Скорость ракеты в любой момент времени при движении вверх определяется уравнением: $ v = v_0 - g t $, где $ v $ — скорость тела через время $ t $ после начала движения вверх.
   • Ракета достигает наибольшей высоты в тот момент, когда её скорость становится равной нулю ($ v = 0 $). Этот момент можно найти из уравнения: $ t_{\text{макс}} = \frac{v_0}{g} $, где $ t_{\text{макс}} $ — время достижения наибольшей высоты.

4. Наибольшая высота:

   • Чтобы найти наибольшую высоту, нужно учесть начальную высоту $ h_0 $ (30 км), начальную вертикальную скорость $ v_0 $, и путь, который ракета проходит за время $ t_{\text{макс}} $. Этот путь можно рассчитать, используя уравнение высоты: $ h_{\text{макс}} = h_0 + v_0 t_{\text{макс}} - \frac{1}{2} g t_{\text{макс}}^2 $.
   • Здесь важно учитывать, что знак $ -\frac{1}{2} g t_{\text{макс}}^2 $ отражает замедление ракеты из−за силы тяжести.

5. Высота через заданное время:

   • Чтобы найти высоту ракеты через некоторое время $ t $ после прекращения работы двигателей, используется то же самое уравнение для высоты: $ h = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 $.
   • В данном случае необходимо подставить $ t = 10 \, \text{с} $, чтобы определить высоту через 10 секунд.

6. Единицы измерения:

   • В задачах на кинематику важно убедиться, что все данные приведены к единой системе единиц. Например, скорость ракеты задана в $ \text{км/с} $, а расстояния — в $ \text{км} $. Чтобы использовать формулы с ускорением свободного падения ($ \text{м/с}^2 $), нужно перевести все величины в единицы СИ:
   • $ v_0 = 1 \, \text{км/с} = 1000 \, \text{м/с} $,
   • $ h_0 = 30 \, \text{км} = 30000 \, \text{м} $,
   • $ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $.

7. Суммарное движение ракеты:

   • После достижения наибольшей высоты ракета начнет падать обратно вниз, но это не учитывается в задаче, так как требуется только рассчитать промежуточные высоты.

Используя эти принципы, можно решить задачу, подставляя соответствующие значения в вышеописанные формулы.