Тело, брошенное вертикально вверх с поверхности земли, поднимается на высоту 25 м, а затем падает на дно шахты глубиной 100 м. Через какое время от момента бросания тело достигнет дна шахты?

Для решения данной задачи нужно рассмотреть движение тела в рамках законов кинематики, учитывая начальную скорость, ускорение свободного падения и перемещение.

1. Кинематика и движение тела под действием силы тяжести:
   При вертикальном движении тела под действием силы тяжести ускорение остаётся постоянным и равно $ g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2 $ (вблизи поверхности Земли, если не учитывать сопротивление воздуха). Это ускорение направлено всегда вниз, к Земле.

2. Фазы движения тела:
   Движение можно разделить на две основные фазы:

   • Сначала тело брошено вертикально вверх с поверхности земли с некоторой начальной скоростью $ v_0 $. Оно поднимается на максимальную высоту, где его скорость становится равной нулю.
   • Затем тело начинает падать вниз: сначала с максимальной высоты обратно к поверхности земли, а затем продолжает падение в шахту до её дна.

3. Равномерно−ускоренное движение:
   При вертикальном движении тела его перемещение $ h $, скорость $ v $ и время $ t $ взаимосвязаны следующими уравнениями:

• $ v = v_0 - g t $ — скорость тела в момент времени $ t $;
• $ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 $ — путь, пройденный телом за время $ t $, если направление вверх считается положительным;
• $ v^2 = v_0^2 - 2g h $ — связь между скоростью, перемещением и ускорением при отсутствии времени.

1. Максимальная высота подъёма:
   Если тело поднимается вверх на максимальную высоту $ h_{\text{макс}} = 25 \, \text{м} $, то в этой точке скорость становится равной нулю ($ v = 0 $). Используя уравнение $ v^2 = v_0^2 - 2g h $, можно определить начальную скорость $ v_0 $:
   $$ v_0^2 = 2g h_{\text{макс}}, $$
   $$ v_0 = \sqrt{2g h_{\text{макс}}}. $$

2. Время подъёма на максимальную высоту:
   Время, за которое тело достигает максимальной высоты, можно найти из уравнения скорости:
   $$ v = v_0 - g t. $$
   На максимальной высоте $ v = 0 $, поэтому:
   $$ t_{\text{подъём}} = \frac{v_0}{g}. $$

3. Время падения от максимальной высоты до поверхности земли:
   Путь от максимальной высоты до поверхности земли равен $ h_{\text{макс}} = 25 \, \text{м} $. Для этого этапа движения используется формула перемещения:
   $$ h = \frac{1}{2} g t^2. $$
   Решая это уравнение относительно времени $ t $, найдём:
   $$ t_{\text{падение}} = \sqrt{\frac{2 h_{\text{макс}}}{g}}. $$

4. Падение тела в шахту:
   После того как тело достигнет поверхности земли, оно продолжит падение в шахту глубиной $ h_{\text{шахта}} = 100 \, \text{м} $. Для этого этапа также применяется формула:
   $$ h = \frac{1}{2} g t^2. $$
   Подставляем $ h = h_{\text{шахта}} $, чтобы найти время падения в шахту:
   $$ t_{\text{шахта}} = \sqrt{\frac{2 h_{\text{шахта}}}{g}}. $$

5. Общее время движения:
   Полное время движения тела $ t_{\text{общее}} $ состоит из трёх этапов:

   • Время подъёма на максимальную высоту $ t_{\text{подъём}} $,
   • Время падения с максимальной высоты до поверхности земли $ t_{\text{падение}} $,
   • Время падения в шахту $ t_{\text{шахта}} $. Таким образом: $$ t_{\text{общее}} = t_{\text{подъём}} + t_{\text{падение}} + t_{\text{шахта}}. $$

Все эти этапы можно рассчитать, зная $ g $, $ h_{\text{макс}} $, и $ h_{\text{шахта}} $.