Маленькая южноамериканская антилопа отталкивается от земли со скоростью 12 м/с. На какую высоту прыгает антилопа? Сколько времени длится прыжок?

Для решения задачи о прыжке антилопы нужно учитывать законы классической механики, в частности кинематику и динамику. Вот подробный теоретический анализ, который поможет разобраться с такими задачами шаг за шагом.

Основные законы и понятия:

1. Закон сохранения энергии: В этой задаче важно понимать, что в момент начала прыжка антилопа имеет начальную кинетическую энергию за счет скорости $ v_0 $. Когда антилопа достигает максимальной высоты, вся кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию. Потенциальная энергия на максимальной высоте определяется формулой: $$ E_{\text{пот}} = m g h, $$ где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения, $ h $ — высота.

Кинетическая энергия в момент прыжка (в начале движения) определяется формулой:
$$ E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v_0^2. $$

Согласно закону сохранения энергии, начальная кинетическая энергия равна потенциальной энергии на максимальной высоте прыжка:
$$ \frac{1}{2} m v_0^2 = m g h. $$

Отсюда можно выразить высоту $ h $:
$$ h = \frac{v_0^2}{2 g}. $$

1. Ускорение свободного падения:
   Ускорение свободного падения $ g $ на поверхности Земли принимается равным $ 9.8 \, \text{м/с}^2 $. Это значение используется при расчетах, связанных с движением тела в поле силы тяжести.

2. Равномерно замедленное движение:
   Когда антилопа подлетает вверх, она движется против действия силы тяжести. Скорость постепенно уменьшается до нуля на максимальной высоте. Уравнение для вертикального движения при наличии ускорения $ g $ вверх можно записать следующим образом:
   $$ v = v_0 - g t, $$
   где $ v $ — скорость тела в любой момент времени, $ t $ — время, прошедшее с начала движения, $ v_0 $ — начальная скорость.

На максимальной высоте $ v = 0 $. Из этого условия можно найти время подъема:
$$ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g}. $$

Время полного прыжка (вверх и вниз) будет в два раза больше времени подъема:
$$ t_{\text{прыжок}} = 2 t_{\text{подъем}} = \frac{2 v_0}{g}. $$

1. Уравнение высоты: Путь (в данном случае высота $ h $) для равнозамедленного движения в вертикальном направлении определяется следующим уравнением: $$ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2. $$ На максимальной высоте $ h $ достигается в момент времени $ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} $, поэтому можно использовать формулу, выведенную ранее: $$ h = \frac{v_0^2}{2 g}. $$

Алгоритм решения задачи:

1. Найти максимальную высоту:
   Используя закон сохранения энергии и выражение для высоты $ h = \frac{v_0^2}{2 g} $, можно вычислить, на какую высоту поднимется антилопа.

2. Найти время подъема:
   Время подъема антилопы до максимальной высоты вычисляется по формуле $ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} $.

3. Найти полное время прыжка:
   Время полного прыжка (вверх и вниз) равно $ t_{\text{прыжок}} = 2 t_{\text{подъем}} $.

Итоговые формулы:

• Высота прыжка: $ h = \frac{v_0^2}{2 g} $,
• Время подъема: $ t_{\text{подъем}} = \frac{v_0}{g} $,
• Полное время прыжка: $ t_{\text{прыжок}} = \frac{2 v_0}{g} $.

Эти формулы помогут решить задачу, подставляя численные значения.