На какую высоту от поверхности Земли поднялся космический корабль, если приборы отметили уменьшение ускорения свободного падения до 2,45 $м/с^{2}$?

Для решения задачи необходимо использовать закон всемирного тяготения и формулу для вычисления ускорения свободного падения.

1. Закон всемирного тяготения:
   Закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения между двумя точечными массами прямо пропорциональна произведению этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
   $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$
   где:
   $ F $ — сила гравитационного притяжения,
   $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2 / \text{кг}^2 $),
   $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы взаимодействующих тел,
   $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.

2. Акселерация свободного падения (ускорение свободного падения):
   Ускорение свободного падения на поверхности Земли связано с её массой и радиусом следующим образом:
   $$ g = G \frac{M}{R^2} $$
   где:
   $ g $ — ускорение свободного падения на поверхности Земли ($ g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 $),
   $ M $ — масса Земли ($ M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{кг} $),
   $ R $ — радиус Земли ($ R \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{м} $).

3. Ускорение свободного падения на высоте:
   Если космический корабль поднялся на высоту $ h $ от поверхности Земли, то расстояние от корабля до центра Земли будет равно сумме радиуса Земли и высоты $ h $:
   $$ r = R + h $$
   На этой высоте ускорение свободного падения $ g_h $ будет меньше, чем на поверхности Земли, и определяется по формуле:
   $$ g_h = G \frac{M}{(R + h)^2} $$

4. Соотношение ускорений:
   Из формулы для ускорения свободного падения на поверхности Земли и на высоте можно составить соотношение:
   $$ \frac{g_h}{g} = \frac{R^2}{(R + h)^2} $$
   где $ g_h $ — ускорение свободного падения на высоте $ h $, $ g $ — ускорение свободного падения на поверхности Земли, $ R $ — радиус Земли, $ h $ — высота от поверхности Земли.

5. Решение задачи:
   В задаче задано $ g_h = 2.45 \, \text{м/с}^2 $, $ g = 9.8 \, \text{м/с}^2 $, и требуется найти $ h $. Для этого из приведенного соотношения выразим $ h $:

$$ \frac{g_h}{g} = \frac{R^2}{(R + h)^2} $$

Решаем уравнение относительно $ h $:

$$ R + h = R \sqrt{\frac{g}{g_h}} $$

$$ h = R \left( \sqrt{\frac{g}{g_h}} - 1 \right) $$

Подставляя значения $ g $, $ g_h $, и $ R $, можно найти $ h $.