Ускорение свободного падения на планете Меркурий 3,72 $м/с^{2}$, а средний радиус планеты 2420 км. Рассчитайте массу Меркурия.

Для решения задачи по вычислению массы Меркурия, мы будем использовать закон всемирного тяготения и формулу ускорения свободного падения. Давайте разберёмся с теоретической частью шаг за шагом.

1. Закон всемирного тяготения
   Закон всемирного тяготения гласит, что сила притяжения $ F $ между двумя массами $ m_1 $ и $ m_2 $, находящимися на расстоянии $ r $, определяется выражением:
   $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$
   где:

   • $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} $),
   • $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы объектов,
   • $ r $ — расстояние между центрами масс этих объектов.

2. Ускорение свободного падения
   Сила тяжести $ F $, действующая на тело массой $ m $, можно выразить через второй закон Ньютона:
   $$ F = m \cdot g, $$
   где:

   • $ g $ — ускорение свободного падения, которое зависит от массы и размеров планеты,
   • $ m $ — масса падающего тела.

Подставляя силу тяжести в виде закона всемирного тяготения в выражение $ F = m \cdot g $, мы получаем:
$$ G \frac{m_p m}{r^2} = m \cdot g, $$
где:
− $ m_p $ — масса планеты,
− $ r $ — радиус планеты (или расстояние от центра планеты до поверхности, если тело находится на её поверхности),
− $ g $ — ускорение свободного падения на поверхности планеты.

1. Выражение массы планеты
   В уравнении $ G \frac{m_p m}{r^2} = m \cdot g $ масса $ m $ тела, на которое действует сила тяжести, сокращается:
   $$ G \frac{m_p}{r^2} = g. $$
   Теперь выразим массу планеты $ m_p $ через ускорение $ g $:
   $$ m_p = \frac{g \cdot r^2}{G}. $$

2. Подготовка к расчётам
   Для использования этой формулы нужно обратить внимание на следующие моменты:

   • Радиус планеты $ r $ должен быть в метрах (в задаче дано в километрах, поэтому $ r $ нужно умножить на $ 1000 $).
   • Ускорение свободного падения $ g $ уже дано в единицах СИ ($ м/с^2 $).
   • Гравитационная постоянная $ G $ — это табличное значение ($ 6,674 \cdot 10^{-11} $).

Теперь, зная формулу для массы планеты $ m_p $, а также имея все необходимые данные, можно подставить их в формулу и выполнить расчёты.