Рассчитайте ускорение свободного падения тела:
а) на расстоянии, равном радиусу Земли;
б) на высоте 25 600 км над поверхностью Земли.
Масса Земли $6 * 10^{24}$ кг, радиус Земли 6400 км.

Для решения задачи об ускорении свободного падения на различных расстояниях от центра Земли воспользуемся законом всемирного тяготения Исаака Ньютона. Согласно этому закону, сила гравитации $ F $, действующая на тело массой $ m $ со стороны Земли, можно выразить как:

$$ F = G \frac{M m}{r^2}, $$

где:
− $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \text{м}^3 \text{кг}^{-1} \text{с}^{-2} $),
− $ M $ — масса Земли ($ M = 6 \cdot 10^{24} \, \text{кг} $),
− $ m $ — масса тела,
− $ r $ — расстояние от центра Земли до тела.

Ускорение свободного падения $ g $ определяется как отношение силы притяжения $ F $ к массе тела $ m $:

$$ g = \frac{F}{m}. $$

Подставляя выражение для $ F $, получаем формулу для ускорения свободного падения:

$$ g = G \frac{M}{r^2}. $$

Анализ задачи:

1. Ускорение свободного падения $ g $ зависит от расстояния $ r $ от центра Земли. На поверхности Земли $ r $ равно радиусу Земли ($ R = 6400 \, \text{км} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} $).
2. Если тело находится на некотором расстоянии от Земли, общее расстояние $ r $ от центра Земли состоит из радиуса Земли $ R $ и высоты $ h $ над поверхностью Земли: $ r = R + h $.
3. Поскольку ускорение $ g $ обратно пропорционально квадрату $ r $, с увеличением расстояния $ r $ ускорение свободного падения уменьшается.

Расчет ускорения свободного падения в двух случаях:

а) На расстоянии, равном радиусу Земли:

Для этого случая $ r = R $, где $ R = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м} $. Ускорение свободного падения на поверхности Земли задаётся той же формулой $ g = G \frac{M}{R^2} $.

б) На высоте 25 600 км над поверхностью Земли:

В данном случае расстояние $ r $ от центра Земли до тела будет равно:

$$ r = R + h, $$

где $ h = 25 600 \, \text{км} = 25.6 \cdot 10^6 \, \text{м} $.

Тогда общее расстояние $ r $ составит:

$$ r = R + h = 6.4 \cdot 10^6 + 25.6 \cdot 10^6 = 32.0 \cdot 10^6 \, \text{м}. $$

Подставляя это значение $ r $ в формулу $ g = G \frac{M}{r^2} $, можно вычислить ускорение свободного падения на указанной высоте.

Обобщение:

• Ускорение свободного падения на поверхности Земли (или на любом расстоянии) зависит от расстояния до центра Земли $ r $.
• При увеличении расстояния $ r $ ускорение уменьшается пропорционально $ \frac{1}{r^2} $.
• Для выполнения расчёта важно правильно перевести все величины в единицы СИ (метры, килограммы и секунды) и подставить их в формулу.

Эти принципы применяются для выполнения подробных вычислений в задаче.