Вблизи земной поверхности ускорение свободного падения равно 9,8 $м/с^{2}$. Каково будет значение этого ускорения на высотах 100, 2000 и 6000 км?

Для решения задачи необходимо применить закон всемирного тяготения и понятие гравитационного ускорения. Разберем теоретическую часть подробно.

1. Закон всемирного тяготения Закон всемирного тяготения, сформулированный Исааком Ньютоном, утверждает, что сила притяжения $ F $ между двумя массами $ m_1 $ и $ m_2 $, находящимися на расстоянии $ r $ друг от друга, определяется выражением: $$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, $$ где:
2. $ G $ — гравитационная постоянная ($ G \approx 6,674 \cdot 10^{-11} \ \text{Н·м}^2/\text{кг}^2 $);
3. $ m_1 $ и $ m_2 $ — массы тел;
4. $ r $ — расстояние между центрами масс этих тел.

В данном случае $ m_1 $ — масса Земли ($ M $), $ m_2 $ — масса тела ($ m $).

1. Гравитационное ускорение Гравитационное ускорение $ g $ — это ускорение, с которым тело будет двигаться под действием силы тяготения. Оно связано с силой тяготения следующим образом: $$ F = m g, $$ где $ m $ — масса тела, $ g $ — ускорение свободного падения.

Если подставить выражение для силы тяготения из закона всемирного тяготения, получим:
$$ m g = G \frac{M m}{r^2}. $$
Сокращая $ m $ (для $ m \neq 0 $), находим формулу для гравитационного ускорения:
$$ g = G \frac{M}{r^2}. $$
Таким образом, гравитационное ускорение $ g $ зависит от гравитационной постоянной $ G $, массы Земли $ M $ и расстояния $ r $ от центра Земли до рассматриваемой точки.

1. Зависимость $ g $ от расстояния Вблизи земной поверхности расстояние $ r $ равно радиусу Земли $ R $ (около $ 6371 \ \text{км} $ или $ 6,371 \cdot 10^6 \ \text{м} $). На поверхности Земли ускорение свободного падения составляет $ g_0 = 9,8 \ \text{м/с}^2 $. Если тело находится на высоте $ h $ над поверхностью Земли, то расстояние от центра Земли до тела становится равным $ r = R + h $.

Тогда ускорение свободного падения на высоте $ h $ можно записать как:
$$ g_h = G \frac{M}{(R + h)^2}. $$

1. Отношение ускорений на высоте к ускорению на поверхности
   Для упрощения расчетов воспользуемся отношением ускорения на высоте $ h $ ($ g_h $) к ускорению на поверхности Земли ($ g_0 $):
   $$ \frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M}{(R + h)^2}}{G \frac{M}{R^2}}. $$
   Сокращая одинаковые множители ($ G $ и $ M $), получаем:
   $$ \frac{g_h}{g_0} = \frac{R^2}{(R + h)^2}. $$
   Отсюда:
   $$ g_h = g_0 \cdot \frac{R^2}{(R + h)^2}. $$

2. Подстановка значений
   Для расчетов использовать следующие значения:

3. $ g_0 = 9,8 \ \text{м/с}^2 $ — ускорение свободного падения на поверхности Земли;

4. $ R = 6371 \ \text{км} = 6,371 \cdot 10^6 \ \text{м} $ — радиус Земли;

5. $ h $ — высота над поверхностью Земли (в метрах).

Формула для ускорения свободного падения на высоте $ h $:
$$ g_h = 9,8 \cdot \frac{(6,371 \cdot 10^6)^2}{(6,371 \cdot 10^6 + h)^2}. $$

Теперь можно подставить значения высот $ h = 100 \ \text{км} $, $ h = 2000 \ \text{км} $, $ h = 6000 \ \text{км} $ и вычислить гравитационное ускорение $ g_h $.