Леонардо да Винчи утверждал, что если сила F за время t продвинет тело, имеющее массу m, на расстояние s, то:
а) та же сила за то же время продвинет тело массой $\frac{m}{2}$ на расстояние 2s;
б) та же сила за время $\frac{t}{2}$ продвинет тело массой $\frac{m}{2}$ на расстояние s.
Верны ли эти утверждения?
Дано:
$F_{1} = F_{2}$;
$t_{1} = t_{2}$;
$m_{2} = \frac{m_{1}}{2}$;
Доказать:
$\frac{S_{2}}{S_{1}} = 2$.
Решение:
По второму закону Ньютона:
$a = \frac{F}{m}$;
Уравнение движения:
$S = v_{0}t + \frac {at^{2}}{2}$;
Так как тело начинает движение, то $v_{0} = 0$,
$S = \frac {at^{2}}{2} = \frac {\frac{F}{m} * t^{2}}{2} = \frac{Ft^{2}}{2m}$;
В первом случае:
$S_{1} = \frac{Ft^{2}}{2m_{1}}$;
Во второму случае:
$S_{2} = \frac{Ft^{2}}{2m_{2}} = \frac{Ft^{2}}{2 * \frac{m_{1}}{2}} = \frac{Ft^{2}}{m_{1}}$;
$\frac{S_{2}}{S_{1}} = \frac{\frac{Ft^{2}}{m_{1}}}{ \frac{Ft^{2}}{2m_{1}}} = 2$.
Таким образом, утверждение верно. Та же сила за то же время продвинет тело массой $\frac{m}{2}$ на расстояние в 2 раза большее.
Ответ: Верно.
Дано:
$F_{1} = F_{2}$;
$S_{1} = S_{2}$;
$m_{2} = \frac{m_{1}}{2}$;
Доказать:
$t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$.
Решение:
По второму закону Ньютона:
$a = \frac{F}{m}$;
Уравнение движения:
$S = v_{0}t + \frac {at^{2}}{2}$;
Так как тело начинает движение, то $v_{0} = 0$,
$S = \frac {at^{2}}{2}$;
$2S = at^{2}$;
$t^{2} = \frac{2S}{a}$;
$t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{2S}{\frac{F}{m}}} = \sqrt{\frac{2Sm}{F}}$.
В первом случае:
$t_{1} =\sqrt{\frac{2Sm_{1}}{F}}$;
Во втором случае:
$t_{2} = \sqrt{\frac{2Sm_{2}}{F}} = \sqrt{\frac{2S\frac{m_{1}}{2}}{F}} = \sqrt{\frac{Sm_{1}}{F}}$;
$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{2Sm_{1}}{F}}}{\sqrt{\frac{Sm_{1}}{F}}} = \sqrt{\frac{\frac{2Sm_{1}}{F}}{\frac{Sm_{1}}{F}}} = \sqrt{2}$.
Таким образом, утверждение не верно. Та же сила продвинет тело массой $\frac{m}{2}$ на расстояние s не за вдвое меньшее время, а за за $\sqrt{2}$ меньшее время.
Ответ: Неверно.
Чтобы оценить верность утверждений Леонардо да Винчи, необходимо воспользоваться основными законами классической механики, которые изучаются в рамках школьного курса физики. Рассмотрим теоретические аспекты, которые помогут разобраться:
Второй закон Ньютона гласит, что сила $ F $, действующая на тело, вызывает его ускорение $ a $, которое прямо пропорционально силе и обратно пропорционально массе тела:
$$
F = ma,
$$
где:
− $ F $ — сила, приложенная к телу ($ \text{Н} $),
− $ m $ — масса тела ($ \text{кг} $),
− $ a $ — ускорение тела ($ \text{м/с}^2 $).
При наличии постоянной силы тело движется с постоянным ускорением. Основное кинематическое уравнение для равномерно ускоренного движения без начальной скорости ($ v_0 = 0 $) записывается как:
$$
s = \frac{1}{2} a t^2,
$$
где:
− $ s $ — пройденное расстояние ($ \text{м} $),
− $ a $ — ускорение ($ \text{м/с}^2 $),
− $ t $ — время движения ($ \text{с} $).
Из второго закона Ньютона можем выразить ускорение:
$$
a = \frac{F}{m}.
$$
Подставляя это значение ускорения в уравнение движения, получаем:
$$
s = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot t^2.
$$
Это уравнение показывает, что расстояние $ s $, которое проходит тело, зависит от силы $ F $, массы $ m $, и времени $ t $. Если изменяются параметры массы или времени, то расстояние будет меняться.
Подставим массу $ m $ и $ \frac{m}{2} $ в уравнение движения:
1. Для массы $ m $:
$$
s = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{m} \cdot t^2.
$$
2. Для массы $ \frac{m}{2} $:
$$
s' = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{\frac{m}{2}} \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2F}{m} \cdot t^2 = 2s.
$$
Таким образом, первое утверждение, что расстояние увеличится в 2 раза, выглядит верным.
Рассмотрим движение для массы $ \frac{m}{2} $ и времени $ \frac{t}{2} $:
1. Уравнение движения для массы $ \frac{m}{2} $ и времени $ t $:
$$
s' = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{\frac{m}{2}} \cdot t^2 = 2s.
$$
2. Уравнение движения для массы $ \frac{m}{2} $ и времени $ \frac{t}{2} $:
$$
s'' = \frac{1}{2} \cdot \frac{F}{\frac{m}{2}} \cdot \left(\frac{t}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2F}{m} \cdot \frac{t^2}{4} = \frac{1}{4} \cdot 2s = \frac{s}{2}.
$$
Таким образом, второе утверждение, что расстояние остается равным $ s $, не соответствует расчетам.
На основании рассмотренной теории и кинематических расчетов:
− Первое утверждение (а) о расстоянии $ 2s $ для массы $ \frac{m}{2} $ за то же время $ t $ — верное.
− Второе утверждение (б) о расстоянии $ s $ для массы $ \frac{m}{2} $ за время $ \frac{t}{2} $ — неверное.
Пожауйста, оцените решение
