По графику ускорения частицы (рис. 239) постройте график зависимости её скорости от времени. Начальную скорость частицы принять равной нулю.

рис. 239

Для построения графика зависимости скорости $ v $ от времени $ t $, основываясь на графике ускорения $ a(t) $, необходимо использовать фундаментальные законы кинематики и связи между ускорением, скоростью и временем.

Теоретическая часть:

1. Связь между ускорением, скоростью и временем:
   Ускорение $ a $ — это физическая величина, которая показывает, насколько быстро изменяется скорость объекта. Оно выражается через производную скорости $ v(t) $ по времени:
   $$ a(t) = \frac{dv(t)}{dt}. $$
   Для нахождения скорости $ v(t) $, зная ускорение $ a(t) $, необходимо выполнить интегрирование ускорения по времени:
   $$ v(t) = \int a(t) dt + v_0, $$
   где $ v_0 $ — начальная скорость.

2. Начальные условия:
   В задаче начальная скорость частицы $ v_0 $ равна нулю ($ v(0) = 0 $). Это упрощает интегрирование, поскольку $ v_0 $ не добавляет начальных значений.

3. Определение характера графика ускорения:
   График ускорения $ a(t) $, представленный на рисунке, состоит из отдельных участков, на которых ускорение остаётся постоянным или равным нулю:

   • От $ t = 0 $ до $ t = 3 $: $ a = a_0 $.
   • От $ t = 3 $ до $ t = 5 $: $ a = -a_0 $.
   • От $ t = 5 $ до $ t = 7 $: $ a = 0 $.
   • От $ t = 7 $ до $ t = 10 $: $ a = 2a_0 $.

Постоянное ускорение позволяет вычислить изменение скорости на каждом участке времени, поскольку интеграл от постоянной величины $ a_0 $ по времени $ t $ — это линейная функция.

1. Вычисление изменения скорости на каждом участке: Для каждого интервала времени скорость $ v $ изменяется по закону: $$ v(t) = v_{\text{нач}} + a \cdot \Delta t, $$ где $ v_{\text{нач}} $ — скорость в начале интервала, $ a $ — значение ускорения на данном интервале, $ \Delta t $ — длительность интервала времени.

• На интервале $ t = 0 $ до $ t = 3 $: ускорение $ a = a_0 $, начальная скорость $ v(0) = 0 $.
• На интервале $ t = 3 $ до $ t = 5 $: ускорение $ a = -a_0 $, начальная скорость равна скорости в конце предыдущего интервала.
• На интервале $ t = 5 $ до $ t = 7 $: ускорение $ a = 0 $, скорость остаётся неизменной.
• На интервале $ t = 7 $ до $ t = 10 $: ускорение $ a = 2a_0 $, начальная скорость равна скорости в конце предыдущего интервала.

1. Построение графика:

   • На каждом участке времени скорость изменяется линейно, так как ускорение на этих интервалах постоянно.
   • Участки с $ a = 0 $ указывают на сохранение скорости, то есть график скорости будет горизонтальной линией.

2. Пошаговая инструкция для построения графика:

   • Вычислите скорость на каждом интервале времени, используя формулу: $$ v(t) = v_{\text{нач}} + a \cdot \Delta t, $$ где $ \Delta t $ — длительность текущего интервала.
   • Нанесите полученные значения скорости $ v(t) $ на графике в зависимости от времени $ t $.
   • Соедините точки графика, учитывая, что скорость изменяется линейно на участках с постоянным ускорением и остаётся неизменной на участках с $ a = 0 $.

Итог:

График скорости $ v(t) $ представляет собой последовательность отрезков прямых линий с разным наклоном, соответствующим значениям ускорения $ a $, и горизонтальных участков, где ускорение равно нулю.