Проанализируйте графики, приведённые на рисунке 237. Есть ли между ними какая − либо связь?

рис. 237

Для анализа графиков на рисунке необходимо рассмотреть основные понятия и взаимосвязи между перемещением $ x $, скоростью $ v $ и временем $ t $, которые описываются в рамках кинематики.

Теоретическая часть:

1. Перемещение $ x(t) $: Перемещение — это величина, характеризующая изменение положения тела в пространстве относительно начальной точки за некоторый промежуток времени. График $ x(t) $ показывает, как координата объекта изменяется во времени. На графике перемещения по оси $ x $ откладывается расстояние, а по оси $ t $ — время.

• Если график $ x(t) $ является прямой линией с наклоном, это говорит о равномерном движении с постоянной скоростью. Наклон прямой показывает, как быстро объект перемещается — чем круче наклон, тем больше скорость.
• Горизонтальный участок графика $ x(t) $ указывает, что объект находится в покое, то есть его положение не меняется.

1. Скорость $ v(t) $: Скорость — это физическая величина, определяющая, как быстро объект перемещается и в каком направлении. Скорость может быть как положительной (движение вперед), так и отрицательной (движение назад).

• График скорости $ v(t) $ показывает изменение скорости объекта во времени. Если скорость остается постоянной, график будет горизонтальной линией. Если скорость меняется, график будет иметь ступенчатую или наклонную форму.
• Отрицательная скорость обозначает движение в обратном направлении, относительно выбранного направления движения.

1. Связь между перемещением $ x $ и скоростью $ v $: Перемещение связано со скоростью через зависимость: $$ x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(t) \, dt, $$ где $ x_0 $ — начальное положение объекта, $ v(t) $ — скорость объекта в момент времени $ t $, а $ \int v(t) \, dt $ — интеграл скорости, который показывает, как изменяется положение объекта во времени.

• На участке, где скорость $ v $ постоянна, перемещение изменяется линейно: $ x(t) = x_0 + v \cdot t $.
• Если скорость $ v $ равна нулю, перемещение остается неизменным, то есть график $ x(t) $ горизонтален.
• Если скорость отрицательна, то перемещение уменьшается (график $ x(t) $ идет вниз).

1. Анализ графиков:

   • График $ x(t) $ (слева) показывает, как объект перемещается с течением времени: сначала перемещение увеличивается (объект движется вперед), затем остаётся постоянным (объект находится в покое), а потом уменьшается (объект движется назад).
   • График $ v(t) $ (справа) показывает изменения скорости с течением времени: сначала скорость положительная (движение вперед), затем равна нулю (покой), а потом отрицательная (движение назад).

2. Переход от $ v(t) $ к $ x(t) $:
   График $ x(t) $ можно построить, если известен график $ v(t) $:

   • На участке, где $ v > 0 $, объект движется вперед, и график $ x(t) $ будет возрастать.
   • На участке, где $ v = 0 $, объект находится в покое, и график $ x(t) $ будет горизонтальным.
   • На участке, где $ v < 0 $, объект движется назад, и график $ x(t) $ будет убывать.

3. Переход от $ x(t) $ к $ v(t) $:
   Если известен график $ x(t) $, можно определить скорость $ v $ как угловую скорость изменения перемещения:
   $$ v(t) = \frac{dx}{dt}. $$

   • На участке с постоянным наклоном графика $ x(t) $ скорость постоянна.
   • На горизонтальном участке графика $ x(t) $ скорость равна нулю.
   • На участке с отрицательным наклоном графика $ x(t) $ скорость отрицательна.

Вывод:

Графики $ x(t) $ и $ v(t) $ тесно связаны между собой. График перемещения $ x(t) $ можно интерпретировать и построить на основе графика скорости $ v(t) $, и наоборот. Анализ их формы позволяет понять характер движения объекта (равномерное движение, покой или движение в обратном направлении).