По графикам зависимости скорости от времени (рис. 236) определите, какое из четырёх тел прошло наибольший путь за интервал времени от $t_{1} = 0$ до $t_{2} = 3$ c.

рис. 236

Для анализа движения тел по графику зависимости скорости от времени необходимо использовать понятие пути, пройденного телом, и его связь с площадью под графиком скорости.

1. Связь пути с графиком скорости В механике путь — это длина траектории, пройденной телом за определённый промежуток времени. Когда график скорости $v(t)$ представлен в зависимости от времени, путь, пройденный телом за определённый интервал времени, соответствует площади фигуры под этим графиком между заданными временными точками ($t_1$ и $t_2$).

Если $v(t)$ положительное, то путь будет равен площади этой фигуры. Если скорость $v(t)$ меняет знак (например, становится отрицательной), то площадь участков с отрицательной скоростью будет вычитаться из общей площади, так как такие участки соответствуют движению тела назад.

1. Площадь под графиком скорости
   График может состоять из разных геометрических фигур: прямоугольников, треугольников, трапеций, или криволинейных областей. В зависимости от формы, для вычисления площади используются следующие формулы:

   • Для прямоугольника: $S = a \cdot b$, где $a$ — высота, $b$ — основание.
   • Для треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ — высота, $b$ — основание.
   • Для трапеции: $S = \frac{1}{2} \cdot (a_1 + a_2) \cdot h$, где $a_1$ и $a_2$ — длины параллельных сторон, $h$ — высота.
   • Для криволинейной области: площадь рассчитывается интегрированием функции скорости $v(t)$, но в школьной программе чаще всего такие области аппроксимируются простыми фигурами.

2. Анализ графика зависимости скорости от времени
   На рисунке представлены четыре графика скорости для четырёх тел.

   • График 1: скорость возрастает линейно от 3 м/с до 4 м/с.
   • График 2: скорость уменьшается линейно от 4 м/с до 0 м/с.
   • График 3: скорость постоянна (2 м/с).
   • График 4: скорость увеличивается нелинейно от 0 м/с до примерно 2 м/с.

Чтобы определить, какое из тел прошло наибольший путь за интервал времени от $t_1 = 0 \, \text{с}$ до $t_2 = 3 \, \text{с}$, необходимо вычислить площадь под каждым графиком в этом временном интервале.

1. Методика вычисления пути:
   а) Определите форму области под графиком скорости для каждого тела в интервале от $t_1 = 0$ до $t_2 = 3$.
   б) Разделите область на простые фигуры (треугольники, прямоугольники, трапеции).
   в) Рассчитайте площадь каждой фигуры, используя соответствующую формулу.
   г) Для криволинейного участка (график 4) можно использовать аппроксимацию или приближение.

2. Сравнение результатов
   После вычисления площадей для всех графиков сравните полученные значения. Путь, соответствующий максимальной площади, покажет, какое тело прошло наибольший путь за указанный временной интервал.