а) Может ли движущееся тело иметь скорость и ускорение, всё время направленные в противоположные стороны?
б) В каком случае мгновенная и средняя скорости равны? Почему?

Для решения данной задачи важно рассмотреть несколько ключевых понятий из кинематики: скорость, ускорение, их направление, а также различия между мгновенной и средней скоростью.

Часть (а): Может ли движущееся тело иметь скорость и ускорение, всё время направленные в противоположные стороны?

Для ответа на этот вопрос необходимо понять, что такое скорость и ускорение, и как они связаны:

1. Скорость — это векторная физическая величина, которая показывает, как быстро и в каком направлении изменяется положение объекта в пространстве. Направление скорости совпадает с направлением движения тела.

2. Ускорение — это также векторная величина, которая характеризует, как быстро изменяется скорость тела по модулю и/или направлению. Ускорение связано с действием на объект внешних сил (например, силы тяжести, силы трения или силы тяги).

3. Если скорость и ускорение имеют противоположные направления, это означает, что ускорение действует против направления движения тела. В таком случае происходит замедление (тело тормозит).

4. Пример физической ситуации: когда вы бросаете вверх мяч, его начальная скорость направлена вверх. Однако вектор ускорения (создаваемый силой тяжести) направлен вниз. Таким образом, скорость и ускорение всё время направлены в противоположные стороны, пока мяч движется вверх. В результате скорость мяча уменьшается, пока не достигнет нуля на вершине траектории.

Часть (б): В каком случае мгновенная и средняя скорости равны? Почему?

Чтобы ответить на этот вопрос, разберём понятия мгновенной и средней скорости:

1. Мгновенная скорость — это скорость тела в конкретный момент времени. Она определяется как предел отношения изменения координаты к промежутку времени, в течение которого произошло это изменение:
   $$ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}. $$
   Мгновенная скорость характеризует текущую скорость и направление движения тела.

2. Средняя скорость — это отношение пройденного пути $ S $ к общему времени $ t $, за которое этот путь был пройден:
   $$ v_{\text{сред}} = \frac{S}{t}. $$

3. Чтобы мгновенная и средняя скорости были равны, движение тела должно быть равномерным. При равномерном движении скорость остаётся постоянной по модулю и направлению в течение всего времени. Тогда мгновенная скорость в любой момент времени будет равна средней скорости, так как путь $ S $ возрастает линейно с течением времени.

4. Пример физической ситуации: если тело движется по прямой с постоянной скоростью, его мгновенная скорость в любой момент времени совпадает с его средней скоростью за любой временной интервал.

5. В отличие от равномерного движения, если тело движется с ускорением (ускоряется или замедляется), мгновенная скорость тела будет изменяться, а средняя скорость за некоторый интервал времени будет учитывать всё движение (включая начальные и конечные состояния). В таком случае они, как правило, не совпадают.

Эти рассуждения позволяют глубже понять физическую природу задачи.