Известно, что как−то знаменитому американскому математику Нейману задали каверзную задачку: «Из пунктов А и Б, отстоящих на 100 км, одновременно выходят навстречу друг другу два поезда со скоростью 50 км/ч. Как только они трогаются, пчела, устроившаяся на головной фаре поезда в пункте А, испуганно взлетает и устремляется вперёд вдоль железнодорожного полотна со скоростью 90 км/ч. Наткнувшись на поезд, идущий из пункта Б, она круто поворачивает и летит обратно с той же скоростью. Так и металась между двумя поездами, пока они не встретились. Какой путь пролетела пчела? »
Дано:
S = 100 км;
$v_{1} = v_{2} = 50$ км/ч;
$v_{пч} = 90$ км/ч.
Найти:
$S_{пч}$ − ?
Решение:
Найдём время движения поездов до встречи.
Составим уравнения движения.
$x_{1} = v_{1}t = 50t$;
$x_{2} = S - v_{2}t = 100 - 50t$.
В момент встречи, тела имеют равную координату, значит правые части уравнений можно приравнять:
50t = 100 − 50t;
100t = 100;
t = 1 ч.
Найдем путь, который пролетела пчела за время движения поездов до встречи:
$S_{пч} = v_{пч}t$;
S = 90 * 1 = 90 км.
Ответ: 90 км.
Для решения задачи важно сначала понять физические законы и принципы, которые лежат в основе описанной ситуации. Разберем теоретическую часть задачи подробно.
Два поезда движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью $ v = 50 \, \text{км/ч} $. Пункт А и пункт Б находятся на расстоянии $ d = 100 \, \text{км} $ друг от друга. Когда объекты движутся навстречу друг другу, их скорости относительно друг друга складываются. Это означает, что относительная скорость сближения поездов равна:
$$
v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = 50 \, \text{км/ч} + 50 \, \text{км/ч} = 100 \, \text{км/ч}.
$$
Так как расстояние между пунктами А и Б равно $ d = 100 \, \text{км} $, время, за которое поезда встретятся, можно найти из формулы:
$$
t = \frac{d}{v_{\text{отн}}}.
$$
Пчела начинает своё движение одновременно с поездом из пункта А. Её скорость равна $ v_{\text{пч}} = 90 \, \text{км/ч} $, и она движется вдоль железнодорожного пути, сначала в сторону поезда, движущегося из пункта Б, а затем обратно к поезду из пункта А, и так далее, пока не произойдет встреча поездов.
Важно понимать, что пчела движется без остановок и затрачивает всё время $ t $, пока поезда движутся навстречу друг другу. Она меняет направление своего движения каждый раз, как только сталкивается с одним из поездов, но скорость её остаётся постоянной.
Ключевое упрощение этой задачи заключается в том, что пчела метается между двумя поездами, и её траектория сложна для точного расчета отдельных участков. Но мы знаем общее время, за которое поезда встретятся:
$$
t = \frac{d}{v_{\text{отн}}}.
$$
За это время пчела будет находиться в полете, и её пройденное расстояние можно найти по формуле для равномерного движения:
$$
s_{\text{пч}} = v_{\text{пч}} \cdot t.
$$
На первый взгляд может показаться, что нужно рассчитывать каждый отдельный участок траектории пчелы, когда она летит вперёд и назад. Однако это не требуется, так как её скорость постоянна, а общее время полета $ t $ одинаково для всех участков. Таким образом, мы можем рассматривать пчелу как движущийся объект с постоянной скоростью $ v_{\text{пч}} $, не углубляясь в её повороты.
Подставляя выражение для времени $ t $ движения поездов в формулу для расстояния пчелы, получаем:
$$
s_{\text{пч}} = v_{\text{пч}} \cdot \frac{d}{v_{\text{отн}}}.
$$
Где:
− $ v_{\text{пч}} $ — скорость пчелы;
− $ d $ — расстояние между пунктами А и Б;
− $ v_{\text{отн}} $ — относительная скорость поездов.
Эта формула позволяет вычислить путь, пройденный пчелой.
Пожауйста, оцените решение
