В безветренную погоду капли дождя оставили на окне равномерно движущегося трамвая следы, направленные под углом 45° к вертикали. Найдите скорость трамвая, если скорость падения капель относительно Земли 36 км/ч.

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть движение, используя законы кинематики и основы векторного анализа. Дадим подробное теоретическое объяснение.

1. Понимание задачи:
   Капли дождя падают с некоторой скоростью относительно Земли (36 км/ч), но окно трамвая при этом движется относительно Земли с некоторой скоростью. В результате этого движения следы капель на окне оказываются направленными под углом 45° к вертикали. Требуется найти скорость трамвая относительно Земли.

2. Движение капель дождя:
   Скорость капель дождя относительно Земли можно выразить как вектор. Этот вектор направлен вертикально вниз, так как дождь падает под действием силы тяжести (без учета ветра). Назовем эту скорость $v_{\text{дождь}} = 36 \, \text{км/ч}$.

3. Движение трамвая:
   Скорость трамвая относительно Земли направлена горизонтально. Обозначим эту скорость как $v_{\text{трамвай}}$ и направим её вдоль оси $x$.

4. Относительное движение капель дождя относительно трамвая:
   Для наблюдателя, находящегося внутри трамвая, капли дождя будут двигаться с некоторой скоростью относительно самого трамвая. Эта относительная скорость определяется как разность векторов скорости капель дождя относительно Земли и скорости трамвая относительно Земли:
   $$ \vec{v}_{\text{отн}} = \vec{v}_{\text{дождь}} - \vec{v}_{\text{трамвай}}. $$

5. Разложение скоростей на компоненты:

   • Скорость капель дождя относительно Земли имеет только вертикальную компоненту (по оси $y$): $$ v_{\text{дождь, x}} = 0, \quad v_{\text{дождь, y}} = -36 \, \text{км/ч}. $$
   • Скорость трамвая относительно Земли имеет только горизонтальную компоненту (по оси $x$): $$ v_{\text{трамвай, x}} = v_{\text{трамвай}}, \quad v_{\text{трамвай, y}} = 0. $$

Таким образом, относительная скорость капель дождя относительно трамвая будет:
$$ v_{\text{отн, x}} = 0 - v_{\text{трамвай}}, \quad v_{\text{отн, y}} = -36 - 0. $$

Или в векторной форме:
$$ \vec{v}_{\text{отн}} = (-v_{\text{трамвай}}, -36). $$

1. Направление следов капель на окне: Следы капель на окне трамвая показывают направление движения капель относительно трамвая. Эти следы направлены под углом 45° к вертикали. Угол наклона скорости относительно вертикали можно определить из отношения горизонтальной и вертикальной составляющих скорости. Согласно условию, угол составляет 45°, значит: $$ \tan(45^\circ) = 1. $$

Для относительной скорости капель это означает, что модуль горизонтальной составляющей равен модулю вертикальной составляющей:
$$ |v_{\text{отн, x}}| = |v_{\text{отн, y}}|. $$

1. Подстановка значений: Подставим выражения для $v_{\text{отн, x}}$ и $v_{\text{отн, y}}$: $$ |v_{\text{трамвай}}| = |(-36)| = 36 \, \text{км/ч}. $$

Таким образом, задача сводится к вычислению скорости трамвая на основании равенства модулей составляющих относительной скорости капель дождя относительно трамвая.