Движение двух тел задано уравнениями $х_{1} = 20t$ (м), $х_{2} = 250 - 5t$ (м). Найдите:
а) место и время встречи этих тел;
б) координату второго тела в момент времени, когда координата первого тела была равна 100 м;
в) в какой момент времени расстояние между телами составляло 125 м.
Учесть, что тела начали двигаться одновременно.

Для решения задачи необходимо рассмотреть теоретические аспекты, связанные с кинематикой движения тел, описанного посредством уравнений зависимости координаты от времени.

Теоретические аспекты

1. Уравнение движения:
   В кинематике положение тела в пространстве обычно задается уравнением $ x(t) $, которое выражает зависимость координаты $ x $ от времени $ t $. Уравнение движения зависит от характера движения тела (равномерное, равноускоренное и т. д.). В данной задаче движение обоих тел является равномерным, что означает, что тела движутся с постоянной скоростью, и их уравнение движения имеет вид:
   $$ x(t) = x_0 + v \cdot t, $$
   где:

   • $ x_0 $ — начальная координата тела (в момент времени $ t = 0 $),
   • $ v $ — скорость тела,
   • $ t $ — время.

2. Равномерное движение:
   При равномерном движении скорость движения $ v $ остаётся неизменной, а зависимость координаты от времени является линейной функцией. В системе уравнений $ x_1 = 20t $ и $ x_2 = 250 - 5t $ видно, что начальная координата первого тела $ x_{1_0} = 0 $, скорость $ v_1 = 20 \, \text{м/с} $, начальная координата второго тела $ x_{2_0} = 250 $, скорость $ v_2 = -5 \, \text{м/с} $ (отрицательное значение скорости указывает на движение в противоположном направлении).

3. Встреча двух тел:
   Два тела встречаются, если их координаты становятся равными в один и тот же момент времени. Для нахождения времени и места встречи нужно решить уравнение:
   $$ x_1 = x_2. $$
   Подстановка выражений для $ x_1 $ и $ x_2 $ из условий задачи приводит к алгебраическому уравнению относительно времени $ t $. После нахождения $ t $, его значение подставляется в любое из уравнений движения для нахождения координаты встречи.

4. Координата одного тела в момент времени, когда координата другого тела задана:
   Чтобы найти координату одного тела в момент времени, когда координата другого тела известна, сначала определяется момент времени, используя уравнение движения второго тела:
   $$ x_2(t) = \text{заданное значение}. $$
   После нахождения $ t $, его значение подставляется в уравнение движения первого тела для определения его координаты.

5. Расстояние между телами:
   Расстояние между двумя телами в любой момент времени $ t $ определяется как модуль разности их координат:
   $$ d(t) = |x_1(t) - x_2(t)|. $$
   Чтобы найти момент времени, когда расстояние между телами равно заданному значению, решается уравнение:
   $$ |x_1(t) - x_2(t)| = \text{заданное значение}. $$
   Это уравнение может привести к двум значениям $ t $ (если расстояние достигается дважды), которые нужно проверить на физическую осмысленность в контексте задачи.

6. Анализ предельных значений:
   В задачах движения важно анализировать начальные условия, скорости тел и их траектории. Например, если скорости тел имеют противоположные знаки, это означает, что они движутся навстречу друг другу. В случае равных скоростей или движения в одном направлении можно дополнительно анализировать, при каких условиях встреча возможна.

Методика решения:

Для каждой части задачи:
− а) Подставить зависимость координат тел от времени в уравнение $ x_1 = x_2 $ и решить на $ t $. Вычислить координату встречи.
− б) Найти момент времени, когда координата первого тела равна 100 м, используя уравнение $ x_1(t) = 100 $, затем подставить этот момент времени в уравнение движения второго тела.
− в) Составить уравнение для расстояния $ |x_1(t) - x_2(t)| = 125 $ и решить его на $ t $, учитывая возможные случаи.

Эти шаги обеспечивают последовательное и логичное решение задачи.