Инспектор ГИБДД на мотоцикле, двигаясь со скоростью 126 км/ч, догоняет
грузовой автомобиль, движущийся со скоростью 54 км/ч. Укажите начальные координаты мотоцикла и автомобиля, приняв за начало координат пост ГИБДД (рис. 219). Напишите уравнения движения мотоцикла и автомобиля. Определите, за какое время мотоцикл догонит автомобиль. Постройте графики изменения координат мотоцикла и автомобиля.

рис. 219

Для решения задачи необходимо использовать понятия кинематики: уравнения движения тел и графическая интерпретация их движения.

Кинематика. Основные понятия:

1. Прямолинейное равномерное движение:
   Прямолинейное равномерное движение — это движение, при котором тело перемещается вдоль прямой линии с постоянной скоростью. При таком движении тело за равные промежутки времени проходит одинаковое расстояние.

2. Уравнение движения:
   Уравнение движения для тела, движущегося равномерно, записывается в виде:
   $$ x = x_0 + vt, $$
   где:
   $x$ — координата тела в момент времени $t$,
   $x_0$ — начальная координата тела,
   $v$ — скорость тела,
   $t$ — время движения.

3. Система отсчёта:
   Система отсчёта включает следующие элементы:

   • начало отсчёта координат (в данной задаче это пост ГИБДД, точка с координатой $0$);
   • направление, в котором измеряются координаты (в задаче направление соответствует движению вправо, по оси $X$);
   • способ измерения времени (в данной задаче время начинает отсчитываться с момента начала движения инспектора).

Начальные данные задачи:

Из рисунка и формулировки задачи известно:
− Скорость инспектора на мотоцикле: $v_1 = 126 \, \text{км/ч} = 126 \cdot \frac{1000}{3600} = 35 \, \text{м/с}$;
− Скорость грузового автомобиля: $v_2 = 54 \, \text{км/ч} = 54 \cdot \frac{1000}{3600} = 15 \, \text{м/с}$;
− Начальная координата мотоцикла: $x_1 = 300 \, \text{м}$;
− Начальная координата грузового автомобиля: $x_2 = 1200 \, \text{м}$.

Уравнения движения для мотоцикла и автомобиля:

1. Мотоцикл: Уравнение движения инспектора на мотоцикле будет выглядеть следующим образом: $$ x_1(t) = x_1 + v_1 t, $$ где:
   • $x_1 = 300 \, \text{м}$ — начальная координата мотоцикла;
   • $v_1 = 35 \, \text{м/с}$ — скорость мотоцикла;
   • $t$ — время, прошедшее с начала отсчёта.

Окончательное уравнение движения мотоцикла:
$$ x_1(t) = 300 + 35t. $$

1. Грузовой автомобиль: Уравнение движения грузового автомобиля будет выглядеть следующим образом: $$ x_2(t) = x_2 + v_2 t, $$ где:
   • $x_2 = 1200 \, \text{м}$ — начальная координата автомобиля;
   • $v_2 = 15 \, \text{м/с}$ — скорость автомобиля;
   • $t$ — время, прошедшее с начала отсчёта.

Окончательное уравнение движения автомобиля:
$$ x_2(t) = 1200 + 15t. $$

Принцип нахождения времени встречи:
Для того чтобы определить момент времени, когда мотоцикл догонит автомобиль, необходимо учесть, что в этот момент их координаты $x_1(t)$ и $x_2(t)$ станут равными:
$$ x_1(t) = x_2(t). $$
Подставив уравнения движения, получаем:
$$ 300 + 35t = 1200 + 15t. $$
Решив это уравнение, можно найти значение времени $t$, через которое мотоцикл догонит автомобиль.

Графики изменения координат:
На графике будут изображены два прямолинейных движения:
1. Прямая для мотоцикла ($x_1(t)$): наклон графика будет более крутым, так как скорость мотоцикла $v_1$ больше.
2. Прямая для автомобиля ($x_2(t)$): наклон будет менее крутым, так как скорость автомобиля $v_2$ меньше.

Координаты стартовых точек ($x_1 = 300$, $x_2 = 1200$) определяют положение прямых на графике. Точка пересечения двух прямых на графике будет соответствовать моменту времени $t$, когда мотоцикл догоняет автомобиль.