Определите проекции векторов перемещения на ось х (рис. 216, а) и ось у (рис. 216, б).

Для решения задачи сначала определим, что такое проекции вектора на оси координат, а затем разберем общий алгоритм их нахождения.

Проекции вектора на оси координат

Каждый вектор в плоскости можно представить как направленный отрезок, который имеет определенную длину (модуль) и направление. Для удобства анализа движения или выполнения расчетов этот вектор часто раскладывают на его проекции на координатные оси — $x$− и $y$−.

Проекция вектора на какую−либо ось — это длина тени, которую этот вектор "отбрасывает" на соответствующую ось, если на него направить свет параллельно этой оси. При этом проекция может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления вектора относительно оси.

Как найти проекции вектора

Для нахождения проекций вектора на оси координат применяют следующий алгоритм:

1. Определение координат начальной и конечной точек вектора.
   Вектор перемещения задается двумя точками: начальной (где начинается вектор) и конечной (где заканчивается вектор). Координаты этих точек записываются в виде $ (x_1, y_1) $ для начальной точки и $ (x_2, y_2) $ для конечной точки.

2. Нахождение проекции на ось $x$.
   Для определения проекции вектора на горизонтальную ось $x$ используется разность абсцисс (координат по $x$) начальной и конечной точки:
   $$ x_{\text{проекция}} = x_2 - x_1 $$
   Проекция может быть положительной, если вектор направлен вправо, отрицательной — если вектор направлен влево, или нулевой, если вектор параллелен оси $y$.

3. Нахождение проекции на ось $y$.
   Для определения проекции вектора на вертикальную ось $y$ используется разность ординат (координат по $y$) начальной и конечной точки:
   $$ y_{\text{проекция}} = y_2 - y_1 $$
   Проекция будет положительной, если вектор направлен вверх, отрицательной — если вниз, или нулевой, если вектор параллелен оси $x$.

4. Запись результата.
   После выполнения расчетов обе проекции записываются в виде:
   $$ \text{Проекции вектора: } (x_{\text{проекция}}, y_{\text{проекция}}) $$

Работа с координатной сеткой

На рисунке изображены векторы в координатной системе. Координатная сетка представляет собой квадратные ячейки, где расстояние между соседними линиями соответствует единице измерения (1 м). Это позволяет легко определить координаты начальной и конечной точек каждого вектора.

Особенности определения проекций

1. Положительные и отрицательные значения.

   • Если вектор направлен вправо, его проекция на $x$ положительна.
   • Если вектор направлен влево, его проекция на $x$ отрицательна.
   • Если вектор направлен вверх, его проекция на $y$ положительна.
   • Если вектор направлен вниз, его проекция на $y$ отрицательна.

2. Параллельность оси.

   • Если вектор параллелен оси $x$, его проекция на $y$ равна нулю.
   • Если вектор параллелен оси $y$, его проекция на $x$ равна нулю.

3. Модуль проекции.
   Длина проекции вектора на ось всегда меньше или равна длине самого вектора.

Пример применения

Для каждого из векторов на рисунке нужно:
1. Определить координаты начальной и конечной точки.
2. Используя разности координат, найти проекции на ось $x$ и на ось $y$.
3. Учитывать направление вектора для правильного знака проекций.

Используя данный теоретический материал, можно определить проекции всех векторов из задачи.