Начало вектора перемещения находится в точке О с координатами $х_{1} = -1$ м, $у_{1} = 2$ м. Проекция вектора перемещения на ось х равна З м, а на ось у − 4 м. Найдите графически вектор перемещения и его модуль.
Дано:
$х_{1} = -1$ м;
$у_{1} = 2$ м;
$s_{х} = 3$ м;
$s_{y} = -4$ м.
Найти:
|$\overset{→}{s}$| − ?
Решение:
$x_{2} = x_{1} + s_{x}$;
$x_{2} = -1 + 3 = 2$ м;
$y_{2} = y_{1} + s_{y}$;
$y_{2} = 2 + (-4) = -2$ м;
Найдем модуль перемещения по теореме Пифагора:
|$\overset{→}{s}| = \sqrt{s_{x}^{2} + s_{y}^{2}}$;
|$\overset{→}{s}| = \sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = 5$ м.
Ответ: |$\overset{→}{s}| = 5$ м.
Для решения задачи нужно сначала разобраться с основными понятиями, которыми мы будем оперировать:
1. Перемещение.
Перемещение — это вектор, который соединяет начальную и конечную точки движения тела. В отличие от пути, перемещение учитывает только начальную и конечную позиции объекта, а не длину траектории, по которой он двигался. Перемещение обозначается как $ \vec{s} $ и имеет направление.
2. Координаты точки.
Координаты точки в двухмерной системе (на плоскости) составляются из двух чисел: координаты по оси $ x $ (горизонтальная) и координаты по оси $ y $ (вертикальная). Например, начальная точка $ O $ имеет координаты $ x_1 = -1 \, \text{м} $ и $ y_1 = 2 \, \text{м} $.
3. Проекции вектора.
Проекции вектора на оси $ x $ и $ y $ — это те части вектора, которые "выглядят" вдоль соответствующих осей. Их можно представить как длины теней вектора на этих осях. Проекция вектора перемещения на ось $ x $ обозначается $ \Delta x $, а на ось $ y $ — $ \Delta y $. В данной задаче $ \Delta x = 3 \, \text{м} $, а $ \Delta y = 4 \, \text{м} $.
4. Конечные координаты точки.
Чтобы найти конечные координаты точки, к исходным координатам начальной точки $ (x_1, y_1) $ добавляют соответствующие проекции вектора перемещения:
$$
x_2 = x_1 + \Delta x,
$$
$$
y_2 = y_1 + \Delta y.
$$
Это позволяет определить конечную точку движения объекта.
5. Построение графика.
На координатной плоскости начальная точка $ O(x_1, y_1) $ и конечная точка $ A(x_2, y_2) $ соединяются прямой линией, которая представляет сам вектор перемещения $ \vec{s} $. Направление этой линии задается от начальной точки $ O $ к конечной точке $ A $.
6. Модуль вектора перемещения.
Модуль вектора перемещения — это его длина, численно равная расстоянию между начальной и конечной точками. Чтобы найти длину вектора $ \vec{s} $, используется теорема Пифагора. Если известны проекции $ \Delta x $ и $ \Delta y $, модуль $ s $ вычисляется по формуле:
$$
s = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.
$$
Эта формула основана на том, что вектор перемещения $ \vec{s} $, его проекции $ \Delta x $ и $ \Delta y $ образуют прямоугольный треугольник, где $ s $ — гипотенуза, а $ \Delta x $ и $ \Delta y $ — катеты.
7. Направление вектора.
Вектор имеет направление, которое определяется углом, который он составляет с осью $ x $. Угол можно найти с помощью тригонометрических функций, например, тангенса:
$$
\tan \theta = \frac{\Delta y}{\Delta x}.
$$
Применение теории к задаче.
В данной задаче:
− Начальная точка $ O $ имеет координаты $ x_1 = -1 \, \text{м}, y_1 = 2 \, \text{м} $.
− Проекции вектора — $ \Delta x = 3 \, \text{м}, \Delta y = 4 \, \text{м} $.
Для решения задачи необходимо:
1. Найти конечные координаты точки $ A $.
2. Построить на графике вектор перемещения от точки $ O $ до точки $ A $.
3. Вычислить модуль вектора перемещения $ \vec{s} $ по формуле Пифагора.
Пожауйста, оцените решение
