Два столбика одинаковой высоты 1,2 м поставлены вблизи уличного фонаря так, что расстояние от основания уличного фонаря до основания столбиков отличаются на 0,8 м. При этом тени, отбрасываемые столбиками, отличаются на 0,4 м. Найдите высоту, на которую подвешен фонарь.
Дано:
h = 1,2 м;
$AA_{2} - AA_{1} = 0,8$ м;
$A_{2}C- A_{1}C_{1} = 0,4$ м.
Найти:
H− ?
Решение:
△ABC подобен △$A_{2}B_{2}C$, т.к. $∠BAC = ∠B_{2}A_{2}C = 90°$ и ∠C − общий.
$A_{2}C = A_{1}C_{1} + 0,4$;
$AA_{2} - AA_{1} = A_{1}A_{2} = 0,8$ м;
$AC = AA_{1} + A_{1}A_{2} + A_{2}C = AA_{1} + 0,8 + A_{2}C$;
$\frac{H}{h} = \frac{AC}{A_{2}C} = \frac{AA_{1} + 0,8 + A_{2}C}{ A_{1}C_{1} + 0,4}$;
Пусть тень, отбрасываемая от первого столба ($A_{1}C_{1}$) равна x, тогда тень, отбрасываемая от второго столба ($A_{2}C$) равна (x + 0,4), расстояние от фонаря до столба ($AA_{1}$) равно y.
$\frac{H}{1,2} = \frac{y + 0,8 + x + 0,4}{x + 0,4} = \frac{y + x + 1,2}{x + 0,4}$;
△$ABC_{1}$ подобен △$A_{1}B_{1}C_{1}$, т.к. ∠$BAC_{1} = ∠B_{1}A_{1}C_{1} = 90°$ и ∠$C_{1}$ − общий.
$\frac{H}{h} = \frac{AC_{1}}{A_{1}C_{1}}$;
$AC_{1} = AA_{1} + A_{1}C_{1} = x + y$;
$\frac{H}{1,2} = \frac{x + y}{x}$;
$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{H}{1,2} = \frac{х + y + 1,2}{x + 0,4} \\ \frac{H}{1,2} = \frac{x + y}{x} & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} H * (x + 0,4) = 1,2 * (x + y + 1,2) \\ Hx = 1,2 * (x + y) & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} Hx + 0,4x = 1,2 * (x + y) + 1,2 * 1,2 \\ Hx = 1,2 * (x + y); | * (-1) & \end{cases} \end{equation*}$
$\begin{equation*} \begin{cases} Hx + 0,4x = 1,2 * (x + y) + 1,44 \\ -Hx = -1,2 * (x + y); & \end{cases} \end{equation*}$
0,4x = 1,44;
$x = \frac{1,44}{0,4} = 3,6$ м.
Ответ: 3,6 м.
Для решения задачи нужно тщательно разобрать физические принципы, которые применяются в данной ситуации, и сделать необходимые математические выводы. Основой для понимания задачи является явление формирования теней при освещении объектов, а также применение свойств подобия треугольников.
Принцип формирования теней:
Когда источник света, например, уличный фонарь, освещает объекты, тень, отбрасываемая объектом, формируется в зависимости от высоты объекта и расстояния между объектом и источником света. Форма тени определяется траекторией световых лучей, которые исходят от источника света.
Геометрическое представление:
В данной задаче объекты (столбики) и их тени образуют прямоугольные треугольники, где:
Уличный фонарь тоже создает диагональные лучи, проходящие сверху вниз, которые пересекаются с землей в точке, где заканчивается тень.
Подобие треугольников:
Ситуация в задаче предполагает, что треугольники, образованные столбиками и их тенями, а также треугольник, образованный фонарем и его светом, являются подобными. Это важно, так как подобие треугольников используется для вычислений:
Математические зависимости в подобных треугольниках:
Если треугольники подобны, то соотношение высоты объекта к длине его тени равно соотношению высоты фонаря к расстоянию от его основания до точки, где заканчивается тень объекта:
$$
\frac{h_1}{d_1} = \frac{H}{D_1}, \quad \frac{h_2}{d_2} = \frac{H}{D_2},
$$
где:
Разница теней и расстояний:
Задача указывает разницу в длинах теней ($ d_2 - d_1 = 0,4 \, \text{м} $) и расстояний от основания фонаря до объектов ($ D_2 - D_1 = 0,8 \, \text{м} $). Эти данные можно использовать для построения системы уравнений.
Предположение о вертикальности объектов:
В задаче указано, что высота столбиков одинакова ($ h_1 = h_2 = 1,2 \, \text{м} $). Это упрощает решение, так как высоты столбиков не нужно учитывать отдельно.
Основная идея решения:
Для определения высоты фонаря $ H $, нужно использовать свойства подобия треугольников и соотношение пропорций между высотами объектов, длинами теней и расстояниями до основания фонаря. Составляется пропорция, которая связывает данные задачи, и затем высота фонаря вычисляется.
Используем соотношение пропорций для двух столбиков:
$$
\frac{h}{d_1} = \frac{H}{D_1}, \quad \frac{h}{d_2} = \frac{H}{D_2}.
$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$
\frac{d_2}{d_1} = \frac{D_2}{D_1}.
$$
Учитываем разницу в длине теней $ d_2 - d_1 $ и разницу в расстояниях $ D_2 - D_1 $, чтобы построить систему уравнений.
Подставляем известные значения (высоту столбиков, разницу теней и расстояний) в уравнения, чтобы выразить высоту фонаря $ H $.
Решаем систему уравнений, используя пропорции и известные данные задачи.
Этот теоретический подход позволяет составить математическую модель задачи и подойти к её решению.
Пожауйста, оцените решение
