На высоте 4 м висит уличный фонарь. Рассчитайте длину тени, которую отбросит палка длиной 1 м, если её установить вертикально на расстоянии 3 м от основания столба, на котором укреплён фонарь.

Для решения этой задачи потребуется изучить теоретические основы, связанные с геометрической оптикой, пропорциями и взаимным расположением объектов. Здесь используется понятие подобия треугольников, так как свет от фонаря создает тень, которая связана с пропорциями между высотой объектов и расстояниями. Рассмотрим теоретическую часть подробно.

1. Прямолинейное распространение света
   Свет распространяется прямолинейно в однородной среде. Это фундаментальный принцип геометрической оптики. Когда свет от источника (в данном случае фонаря) падает на непрозрачный объект (палку), он образует за объектом область, куда свет не попадает. Эта область — тень. Контуры тени определяются траекторией лучей, идущих от источника света.

2. Образование тени
   Тень объекта, освещённого точечным источником света (фонарём), формируется за счёт преломления и поглощения света объектом. Лучи от источника света проходят вдоль прямых линий, пересекают объект и проецируют его контур на горизонтальную поверхность. Размер и форма тени зависят от:

   • Высоты источника света;
   • Высоты объекта, отбрасывающего тень;
   • Расстояния между объектом и источником света.

3. Подобие треугольников
   В данной задаче мы имеем источник света (фонарь), находящийся на определенной высоте, и объект (палку), отбрасывающий тень. Если провести линии от источника света к верхней и нижней точкам палки, они образуют два треугольника:

   • Один треугольник большой (включающий фонарь, основание столба и конец тени);
   • Другой треугольник маленький (включающий палку и её тень). Эти треугольники будут подобными, поскольку:
   • У них общий угол (угол наклона луча от фонаря);
   • Все углы одинаковы, так как вертикальные и горизонтальные линии создают прямые углы, а оставшийся угол одинаков для обоих треугольников.

4. Свойство подобия треугольников
   Подобные треугольники имеют одинаковые углы, а их стороны пропорциональны. Это значит, что отношение между соответствующими сторонами одного треугольника равно отношению между соответствующими сторонами другого треугольника. Для данной задачи это можно записать в виде:
   (Высота объекта) / (Высота фонаря) = (Длина тени объекта) / (Общая длина тени до основания фонаря).

5. Определение длины тени
   Чтобы найти длину тени, важно учесть, что расстояние от палки до основания столба (3 м) и длина тени палки вместе составляют длину тени всего большого треугольника. Используя пропорции, можно выразить неизвестную длину тени палки через известные величины.

6. Заключение
   Для решения задачи понадобится:

   • Построить геометрическую модель ситуации;
   • Применить свойства подобия треугольников;
   • Записать пропорцию для сторон треугольников и выразить искомую длину тени.