Диаметр источника света равен 10 см. Расстояние от него до экрана равно 2 м. На каком расстоянии следует расположить мяч от источника света диаметром 5 см, чтобы на экране размеры тени были равны половине размера мяча?

Для решения задачи необходимо учитывать принципы распространения света, то есть законы геометрической оптики, а также использовать понятие подобия треугольников.

Основные понятия:

1. Прямолинейное распространение света: Световые лучи распространяются в однородной среде прямолинейно. Это означает, что можно использовать геометрические соотношения для описания траектории лучей.

2. Тень и полу−тень: Когда есть источник света и объект, расположенный перед экраном, световой поток частично перекрывается объектом, создавая на экране область тени. Если источник света не точечный, а имеет конечные размеры, вокруг тени будет область полу−тени.

3. Подобие треугольников: Световые лучи от краев источника света, проходящие вдоль объекта, образуют два подобных треугольника:

   • Один треугольник формируется между источником света, объектом (мячом) и экраном.
   • Второй треугольник формируется между источником света, краем мяча и краем его тени на экране.

4. Пропорции в подобии треугольников: В подобных треугольниках соотношение соответствующих сторон остается неизменным. Это позволяет найти неизвестные расстояния или размеры тени, используя известные параметры.

Теоретические шаги для решения задачи:

1. Анализ условий задачи:
   • Диаметр источника света $d_{свет}$ = 10 см.
   • Расстояние от источника света до экрана $L_{экран}$ = 2 м = 200 см.
   • Диаметр мяча $d_{мяч}$ = 5 см.
   • Размер тени мяча на экране должен быть равен половине диаметра мяча, то есть $d_{тень}$ = $ \frac{d_{мяч}}{2} = 2.5$ см.

Требуется найти расстояние от источника света до мяча $L_{мяч}$, при котором выполняется данное условие.

1. Геометрическая модель:

   • Лучи света от краев источника света проходят через края мяча, формируя тень на экране.
   • Создаются два подобных треугольника:
   • Большой треугольник, основание которого — диаметр источника света $d_{свет}$, а высота — расстояние от источника света до экрана $L_{экран}$.
   • Маленький треугольник, основание которого — диаметр тени $d_{тень}$, а высота — расстояние от мяча до экрана ($L_{экран} - L_{мяч}$).

2. Формулы для подобных треугольников:

   • У подобных треугольников отношение оснований равно отношению высот. Это позволяет записать: $$ \frac{d_{тень}}{d_{мяч}} = \frac{L_{экран} - L_{мяч}}{L_{мяч}}, $$ где $L_{экран} - L_{мяч}$ — расстояние от мяча до экрана, а $L_{мяч}$ — расстояние от источника света до мяча.

3. Пропорция для источника света:

   • Дополнительно учитываются размеры источника света. На экране световые лучи формируют тень, связанная с диаметром источника $d_{свет}$ и расстоянием $L_{экран}$. Эту часть задачи можно анализировать через пропорции размеров.

4. Решение уравнений:

   • Используя пропорцию выше, можно выразить $L_{мяч}$ через известные величины $d_{свет}$, $L_{экран}$, $d_{мяч}$, $d_{тень}$.

Итог:

После подстановки численных значений в формулы и проведения вычислений можно будет найти искомое расстояние $L_{мяч}$, в соответствии с заданными условиями задачи.