Чему равна угловая высота солнца над горизонтом, если длина тени от предмета равна его высоте?

Для решения задачи нужно понять взаимосвязь между угловой высотой солнца над горизонтом, длиной тени и высотой предмета. Давайте разберем все теоретические аспекты поэтапно:

1. Определение угловой высоты солнца
   Угловая высота солнца над горизонтом — это угол между направлением на Солнце и плоскостью горизонта. Этот угол измеряется в градусах и обозначает, насколько высоко Солнце находится над линией горизонта. Чем выше Солнце, тем больше этот угол.

2. Связь между угловой высотой солнца, длиной тени и высотой предмета
   Когда свет падает на предмет, он образует тень. Длина этой тени зависит от угловой высоты Солнца: чем выше Солнце (больший угол), тем короче тень, и наоборот. Существует геометрическая зависимость между высотой предмета, длиной его тени и угловой высотой солнца. Эта зависимость основана на прямоугольном треугольнике.

3. Геометрическая модель
   Представим, что предмет, его тень и направление на Солнце образуют прямоугольный треугольник.

   • Вертикальная сторона треугольника — это высота предмета.
   • Горизонтальная сторона треугольника — это длина тени.
   • Угол между вертикальной стороной (высотой предмета) и гипотенузой (направлением солнечного света) — это угловая высота Солнца над горизонтом.

4. Тригонометрическая связь
   Для определения угловой высоты Солнца пользуются тригонометрическими функциями. В данном случае удобной функцией является тангенс (tan):
   $$ \tan(\alpha) = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}, $$
   где:

   • $\alpha$ — угловая высота Солнца,
   • противоположный катет — это высота предмета,
   • прилежащий катет — это длина тени.

5. Особый случай задачи
   В данной задаче сказано, что длина тени равна высоте предмета. То есть:
   $$ \text{длина тени} = \text{высота предмета}. $$
   Если длина тени равна высоте предмета, то треугольник становится равнобедренным прямоугольным. В таком треугольнике углы при основании имеют одинаковые значения. Угловая высота Солнца в данном случае определяется как угол между вертикальной стороной (высотой предмета) и гипотенузой.

6. Числовое значение угловой высоты
   Когда длина тени равна высоте предмета, соотношение между высотой и длиной тени становится равно единице:
   $$ \tan(\alpha) = \frac{\text{высота предмета}}{\text{длина тени}} = 1. $$
   Значение угла $\alpha$, при котором тангенс равен 1, можно найти из таблицы значений тригонометрических функций или вспомнить, что:
   $$ \tan(45^\circ) = 1. $$

Таким образом, угловая высота Солнца в данном случае равна 45°.