Пассажир такси по часам и спидометру определил, что 5 мин автомобиль двигался со скоростью 40 км/ч, 2 мин − со скоростью 30 км/ч и З мин − со скоростью 20 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля за всё время движения.

Для решения задачи на определение средней скорости автомобиля за всё время его движения нам потребуется понимание основных физических понятий и формул.

1. Основные понятия:

   • Скорость (v) — это величина, показывающая, какое расстояние проходит тело за единицу времени. Скорость измеряется в единицах длины, делённых на единицы времени (например, км/ч или м/с).
   • Средняя скорость ($v_\text{ср}$) — это величина, которая характеризует равномерное движение, при котором тело за то же время прошло бы такое же расстояние, как при реальном движении с различными скоростями.
   • Путь (s) — это расстояние, которое тело проходит за определённое время. Путь измеряется в метрах (м), километрах (км) и других единицах длины.
   • Время (t) — это продолжительность движения тела, измеряемая в секундах (с), минутах (мин), часах (ч) и других единицах времени.

2. Формула средней скорости:
   Средняя скорость за всё время движения рассчитывается по формуле:
   $$ v_\text{ср} = \frac{s_\text{общ}}{t_\text{общ}}, $$
   где:

   • $s_\text{общ}$ — общий путь, пройденный телом за всё время движения,
   • $t_\text{общ}$ — общее время движения.

3. Распределение движения на этапы:
   В задаче движение происходит в три этапа, на каждом из которых автомобиль движется с разной скоростью:

   • Первый этап: 5 минут со скоростью 40 км/ч,
   • Второй этап: 2 минуты со скоростью 30 км/ч,
   • Третий этап: 3 минуты со скоростью 20 км/ч.

На каждом этапе значения скорости известны, но расстояние (путь) и общее время необходимо учесть для нахождения средней скорости.

1. Расчёт полного пути ($s_\text{общ}$): Для каждого этапа движения путь ($s_i$) можно найти, зная скорость и время. Формула для расчёта пути: $$ s = v \cdot t, $$ где:
   • $v$ — скорость на данном этапе,
   • $t$ — время движения на данном этапе.

Однако для корректных вычислений необходимо привести время ($t$) в часы, так как скорость дана в км/ч. Минуты переводятся в часы по формуле:
$$ t \, (\text{в часах}) = \frac{t \, (\text{в минутах})}{60}. $$

После вычисления пути для каждого этапа, общий путь будет равен:
$$ s_\text{общ} = s_1 + s_2 + s_3, $$
где $s_1$, $s_2$, $s_3$ — пути, пройденные на каждом этапе.

1. Расчёт общего времени ($t_\text{общ}$):
   Общее время движения — это сумма времени на всех этапах:
   $$ t_\text{общ} = t_1 + t_2 + t_3, $$
   где $t_1$, $t_2$, $t_3$ — время движения на каждом этапе.

2. Подстановка в формулу средней скорости:
   После того как общий путь ($s_\text{общ}$) и общее время ($t_\text{общ}$) будут найдены, их подставляют в формулу для средней скорости:
   $$ v_\text{ср} = \frac{s_\text{общ}}{t_\text{общ}}. $$

3. Единицы измерения:
   Важно обратить внимание на единицы измерения, чтобы они были согласованы. Скорости заданы в км/ч, поэтому время должно быть переведено в часы, а путь останется в километрах.

4. Логика задачи:

   • Вычисляем пути на каждом из трёх этапов с использованием формулы $s = v \cdot t$.
   • Суммируем пути, чтобы найти $s_\text{общ}$.
   • Переводим время в часы и суммируем его, чтобы найти $t_\text{общ}$.
   • Используем формулу $v_\text{ср} = \frac{s_\text{общ}}{t_\text{общ}}$, чтобы найти среднюю скорость.

Таким образом, задача сводится к последовательному применению формул для пути, времени и средней скорости.