Изменится ли мощность электроплитки, если её нагревательный элемент, сделанный из нихрома, заменить фехралевым таких же размеров, что и размеры первого проводника? Если изменится, то как и во сколько раз?
Дано:
$S_{1} = S_{2} = S$;
$l_{1} = l_{2} = l$;
$ρ_{1} = 1,1 \frac{Ом * мм^{2}}{м}$
$ρ_{2} = 1,2 \frac{Ом * мм^{2}}{м}$
$U_{1} = U_{2} = U$.
Найти:
$\frac{P_{1}}{P_{2}}$ − ?
Решение:
Сопротивление проводника:
$R_{1} = \frac{ρ_{1}l}{S}$;
$I_{1} = \frac{U}{R_{1}}$;
$P_{1} = UI_{1} = U * \frac{U}{R_{1}} = \frac{U^{2}}{\frac{ρ_{1}l}{S}} = \frac{U^{2}S}{ρ_{1}l}$;
$P_{2} = \frac{U^{2}S}{ρ_{2}l}$;
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{\frac{U^{2}S}{ρ_{1}l}}{\frac{U^{2}S}{ρ_{2}l}} = \frac{ρ_{2}}{ρ_{1}}$;
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{1,2}{1,1} ≈ 1,1$.
Ответ: Уменьшится в 1,1 раза.
Для ответа на поставленный вопрос необходимо рассмотреть теоретические основы, связанные с электрической мощностью, сопротивлением проводников и свойствами материалов, из которых они изготовлены. Мы будем работать с ключевыми понятиями физики, такими как сопротивление, мощность, закон Ома и формула Джоуля−Ленца.
Формула электрической мощности
Электрическая мощность $ P $ — это скорость, с которой электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии (в данном случае — в тепловую). Мощность можно выразить через напряжение $ U $, ток $ I $, либо через сопротивление $ R $ нагревательного элемента:
$$
P = U \cdot I \quad (\text{основное определение мощности}),
$$
$$
P = \frac{U^2}{R} \quad (\text{если ток выражен через напряжение и сопротивление}),
$$
$$
P = I^2 \cdot R \quad (\text{если напряжение выражено через ток и сопротивление}).
$$
В данном случае важно учитывать формулу $ P = \frac{U^2}{R} $, так как напряжение остаётся постоянным.
Сопротивление проводника
Сопротивление $ R $ проводника определяется формулой:
$$
R = \rho \cdot \frac{l}{S},
$$
где:
$ \rho $ — удельное сопротивление материала проводника, зависящее от материала (для нихрома и фехраля эти значения различны);
$ l $ — длина проводника;
$ S $ — площадь поперечного сечения проводника.
В задаче сказано, что размеры проводника (длина $ l $ и площадь $ S $) остаются неизменными, поэтому изменение сопротивления будет зависеть только от удельного сопротивления $ \rho $ материала.
Сравнение удельных сопротивлений материалов
Для нихрома удельное сопротивление $ \rho_{\text{нихром}} $ составляет примерно $ 1{,}1 \cdot 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м} $, а для фехраля $ \rho_{\text{фехраль}} $ — около $ 1{,}2 \cdot 10^{-7} \, \Omega \cdot \text{м} $. Это означает, что сопротивление фехралевого проводника будет значительно меньше при одинаковых геометрических размерах.
Зависимость мощности от сопротивления
Если сопротивление $ R $ уменьшается (что происходит при замене нихрома на фехраль), то мощность $ P = \frac{U^2}{R} $ увеличивается, так как сопротивление находится в знаменателе формулы. Чем меньше сопротивление, тем больше мощность при постоянном напряжении.
Соотношение мощностей
Чтобы определить, во сколько раз изменится мощность, нужно найти отношение начальной мощности $ P_{\text{нихром}} $ к мощности после замены $ P_{\text{фехраль}} $:
$$
\frac{P_{\text{фехраль}}}{P_{\text{нихром}}} = \frac{\frac{U^2}{R_{\text{фехраль}}}}{\frac{U^2}{R_{\text{нихром}}}} = \frac{R_{\text{нихром}}}{R_{\text{фехраль}}}.
$$
А сопротивления проводников связаны через их удельные сопротивления:
$$
\frac{R_{\text{нихром}}}{R_{\text{фехраль}}} = \frac{\rho_{\text{нихром}}}{\rho_{\text{фехраль}}}.
$$
Таким образом, изменение мощности зависит только от отношения удельных сопротивлений нихрома и фехраля. Подставив значения $ \rho_{\text{нихром}} $ и $ \rho_{\text{фехраль}} $, можно вычислить точное соотношение мощностей.
Пожауйста, оцените решение
