Докажите, что общее сопротивление участка цепи при параллельном соединении проводников меньше сопротивления отдельных проводников.

Для решения этой задачи важно понять основные законы электричества и особенности параллельного соединения проводников. Начнем с основных понятий и теоретической базы.

Сопротивление и закон Ома
Сопротивление $R$ — это физическая величина, характеризующая способность проводника препятствовать прохождению электрического тока. Чем больше сопротивление, тем труднее току протекать по проводнику. Единица измерения сопротивления — Ом (Ом, Ω).

Связь между напряжением $U$, током $I$ и сопротивлением $R$ описывается законом Ома:
$$ U = I \cdot R $$
или в другой форме:
$$ R = \frac{U}{I}. $$
Этот закон справедлив для металлических проводников при постоянной температуре.

Параллельное соединение проводников
При параллельном соединении два или более проводников объединяют так, что у них одновременно совпадают начала и концы, а значит, напряжение на всех проводниках одинаковое.

Особенности параллельного соединения:
1. Напряжение $U$ на каждом из проводников одинаково, так как все проводники подключены параллельно к одним и тем же узлам.
2. Общий ток $I_\text{общ}$, протекающий через цепь, распределяется между проводниками. Каждый проводник пропускает через себя часть общего тока в зависимости от своего сопротивления.

Для параллельного соединения выполняется следующее соотношение для токов:
$$ I_\text{общ} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots, $$
где $I_1$, $I_2$, $I_3$, ... — токи, текущие через отдельные проводники.

Общее сопротивление при параллельном соединении
Общее сопротивление цепи обозначим $R_\text{общ}$. Оно определяется через напряжение $U$ и общий ток $I_\text{общ}$ по закону Ома:
$$ R_\text{общ} = \frac{U}{I_\text{общ}}. $$

Для параллельного соединения проводников с сопротивлениями $R_1$, $R_2$, $R_3$, ... выполняется следующее правило:
$$ \frac{1}{R_\text{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots $$

Это соотношение можно вывести из закона Ома и описания параллельного соединения. Рассмотрим его подробнее.

1. Напряжение на каждом проводнике одинаково: $U_1 = U_2 = U_3 = \dots = U$.
2. Ток через каждый проводник, согласно закону Ома, равен: $$ I_1 = \frac{U}{R_1}, \quad I_2 = \frac{U}{R_2}, \quad I_3 = \frac{U}{R_3}, \dots $$
3. Общий ток $I_\text{общ}$ равен сумме токов через отдельные проводники: $$ I_\text{общ} = I_1 + I_2 + I_3 + \dots = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2} + \frac{U}{R_3} + \dots. $$
4. Вынесем напряжение $U$ за скобки: $$ I_\text{общ} = U \cdot \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots \right). $$
5. Подставим это выражение в формулу для общего сопротивления $R_\text{общ} = \frac{U}{I_\text{общ}}$: $$ R_\text{общ} = \frac{U}{U \cdot \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots \right)}. $$
6. Сократим $U$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{R_\text{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots. $$

Почему общее сопротивление меньше каждого из отдельных?
Из формулы $\frac{1}{R_\text{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$ видно, что для любого числа проводников сумма $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots$ всегда больше каждого отдельного члена $\frac{1}{R_i}$.

Это связано с тем, что добавление новых проводников (даже с очень большим сопротивлением) увеличивает число путей для прохождения тока. Следовательно, общее сопротивление $R_\text{общ}$ уменьшается.

Для двух проводников с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ формула принимает вид:
$$ \frac{1}{R_\text{общ}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}. $$
Или:
$$ R_\text{общ} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}. $$
Из этой формулы видно, что $R_\text{общ}$ всегда меньше $R_1$ и $R_2$, так как знаменатель $R_1 + R_2$ больше любого из числителей $R_1$ или $R_2$.

Таким образом, мы доказали, что общее сопротивление при параллельном соединении всегда меньше сопротивления каждого из проводников. Это связано с тем, что ток получает больше путей для прохождения, а сопротивление всей цепи уменьшается.