Для изготовления медного провода, сопротивление которого равно 16,8 Ом, израсходовано 4,45 кг меди. Чему равна длина провода?
Дано:
R = 16,8 Ом;
m = 4,45 кг;
$ρ = 0,017 \frac{Ом * мм^{2}}{м}$;
$ρ_{пл} = 8900 кг/м^{3}$.
Найти:
l − ?
СИ:
$ρ = 1,7 * 10^{-8}$ Ом * м.
Решение:
$m = ρ_{пл}V = ρ_{пл}Sl$;
$S = \frac{m}{ρ_{пл}l}$;
$R = \frac{ρl}{S}$;
$l = \frac{RS}{ρ} = \frac{R\frac{m}{ρ_{пл}l}}{ρ} = \frac{Rm}{ρ_{пл}lρ}$;
$l^{2} = \frac {Rm}{ρ_{пл}ρ}$;
$l = \sqrt{\frac {Rm}{ρ_{пл}ρ}}$;
$l = \sqrt{\frac {16,8 * 4,45}{8900 * 1,7 * 10^{-8}}} = 702$ м.
Ответ: 702 м.
Давайте подробно разберем теоретическую часть для решения задачи.
1. Понятие удельного сопротивления
Удельное сопротивление ($\rho$) — это физическая величина, которая характеризует способность материала сопротивляться прохождению электрического тока. Удельное сопротивление зависит только от свойств материала и не зависит от его формы или размеров. Единица измерения удельного сопротивления — Ом·м ($\Omega \cdot м$).
Формула сопротивления проводника
Сопротивление проводника ($R$) можно рассчитать по формуле:
$$
R = \rho \cdot \frac{l}{S},
$$
где:
− $R$ — сопротивление проводника, Ом;
− $\rho$ — удельное сопротивление материала проводника, Ом·м;
− $l$ — длина проводника, м;
− $S$ — площадь поперечного сечения проводника, м².
2. Связь сопротивления с массой проводника
Если масса проводника ($m$) и его плотность ($\rho_m$) известны, то можно найти объем проводника ($V$) по формуле:
$$
V = \frac{m}{\rho_m}.
$$
где:
− $m$ — масса проводника, кг;
− $\rho_m$ — плотность материала проводника, кг/м³;
− $V$ — объем проводника, м³.
3. Связь объема проводника с его геометрией
Объем цилиндра (что применимо для проводника, если он имеет форму проволоки) выражается через площадь поперечного сечения ($S$) и длину ($l$):
$$
V = S \cdot l.
$$
Таким образом, можно выразить площадь поперечного сечения:
$$
S = \frac{V}{l}.
$$
4. Удельное сопротивление меди
Для расчета необходимо знать удельное сопротивление меди ($\rho$) и ее плотность ($\rho_m$). Эти значения являются табличными и их можно найти в учебных материалах или справочниках:
− Удельное сопротивление меди: $\rho \approx 1,7 \cdot 10^{-8} \, \Omega \cdot м$;
− Плотность меди: $\rho_m \approx 8900 \, \text{кг/м}^3$.
5. Составление уравнений для задачи
Теперь, используя известные формулы, можно выразить длину проводника ($l$).
Найдите объем проводника:
$$
V = \frac{m}{\rho_m}.
$$
Найдите площадь поперечного сечения через сопротивление:
$$
S = \frac{\rho \cdot l}{R}.
$$
Используйте геометрическую связь между объемом и площадью поперечного сечения:
$$
S = \frac{V}{l}.
$$
Подставляя найденное значение $S$ из одной формулы в другую, получите уравнение, которое связывает длину провода ($l$) с известными параметрами задачи.
6. Итоговая формула для длины проводника
После подстановки и преобразования уравнений можно выразить длину проводника ($l$) следующим образом:
$$
l = \sqrt{\frac{R \cdot m}{\rho \cdot \rho_m}}.
$$
Эта формула позволяет найти длину проводника, используя:
− сопротивление ($R$) проводника;
− массу ($m$) проводника;
− удельное сопротивление ($\rho$) материала проводника;
− плотность ($\rho_m$) материала проводника.
Таким образом, теоретическая база для решения задачи полностью изложена.
Пожауйста, оцените решение
