Как изменится сопротивление материала, из которого изготовлена проволока длиной 2 м и площадью поперечного сечения 4 $мм^{2}$, если её расплавить и из расплавленного металла отлить кубик?
Дано:
$l_{1} = 2$ м;
$S_{1} = 4 мм^{2}$;
$V_{1} = V_{2}$;
$V_{2} = a^{3}$;
$ρ_{1} = ρ_{2} = ρ$.
Найти:
$\frac{R_{1}}{R_{2}}$ − ?
СИ:
$S = 4 * 10^{-6} м^{2}$.
Решение:
$V_{1} = Sl$;
$V_{2} = a^{3}$;
$V_{1} = V_{2}$;
$Sl = a^{3}$;
a = ∛Sl;
$a = ∛4 * 10^{-6} * 2 = 2 * 10^{-2}$ м;
$R_{1} = \frac{ρl_{1}}{S_{1}}$;
$R_{2} = \frac{ρl_{2}}{S_{2}} = \frac{ρa}{a^{2}}$;
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{\frac{ρl_{1}}{S_{1}}}{\frac{ρa}{a^{2}}} = \frac{l_{1}a}{S_{1}}$;
$\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{2 * 2 * 10^{-2}}{4 * 10^{-6}} = 10000$.
Ответ: Сопротивление уменьшится в 10 000 раз.
Чтобы понять, как меняется сопротивление материала при изменении его формы, необходимо рассмотреть теоретические основы, связанные с сопротивлением, электрическими свойствами материала и геометрией проводника.
Сопротивление проводника определяется формулой:
$$ R = \rho \cdot \frac{l}{S}, $$
где:
− $ R $ — сопротивление проводника, измеряется в омах ($\Omega$);
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала, измеряется в $\Omega \cdot м$;
− $ l $ — длина проводника, измеряется в метрах ($м$);
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника, измеряется в квадратных метрах ($м^2$).
Удельное сопротивление ($\rho$) — это физическая характеристика материала, которая зависит исключительно от его химического состава и условий окружающей среды, таких как температура. Оно остаётся неизменным, если материал не изменяет своих свойств при плавлении и переотливании.
Длина проволоки $ l = 2 м $, а площадь поперечного сечения $ S = 4 мм^2 = 4 \times 10^{-6} м^2 $. Таким образом, сопротивление проволоки определяется исходной формой и размером проводника.
Объём материала в процессе плавления и повторного формирования остаётся неизменным. Это ключевой момент для расчёта, так как объём материала определяет новые геометрические параметры, такие как длина стороны куба и его площадь.
Объём проволоки можно вычислить по формуле:
$$ V = S \cdot l, $$
где $ V $ — объём материала.
После того как материал проволоки расплавлен и переработан в форме куба, его геометрия изменяется. Для куба объём выражается формулой:
$$ V = a^3, $$
где $ a $ — длина ребра куба. Таким образом, из объёма материала, вычисленного для проволоки, можно определить длину ребра куба.
Для куба площадь поперечного сечения, через которую проходит ток, равна площади одной из его граней:
$$ S_{\text{куб}} = a^2. $$
А длина, которую ток проходит внутри куба, равна длине ребра $ a $.
Сопротивление материала в форме куба определяется теми же принципами:
$$ R_{\text{куб}} = \rho \cdot \frac{l_{\text{куб}}}{S_{\text{куб}}}, $$
где:
− $ l_{\text{куб}} = a $ — длина токопроводящего пути внутри куба;
− $ S_{\text{куб}} = a^2 $ — площадь поперечного сечения.
Чтобы понять, как изменяется сопротивление, нужно сравнить сопротивление материала в форме проволоки и в форме куба. Для этого потребуется выразить величины $ a $, $ l $, и $ S $ через объём $ V $, который остаётся неизменным.
Пожауйста, оцените решение
