Электрическая проводка изготовлена из медного провода длиной 200 м и площадью поперечного сечения 10 $мм^{2}$. Чему равно сопротивление проводки? Какую площадь поперечного сечения должен иметь алюминиевый провод, чтобы его сопротивление было таким же?

Перед тем как решать задачу, разберем её теоретическую основу.

Основные физические законы и формулы:

1. Формула сопротивления проводника:
   Сопротивление проводника рассчитывается по формуле:
   $$ R = \rho \cdot \frac{l}{S}, $$
   где:

   • $ R $ — сопротивление проводника (в Ом),
   • $ \rho $ — удельное сопротивление материала проводника (в Ом·м),
   • $ l $ — длина проводника (в метрах),
   • $ S $ — площадь поперечного сечения проводника (в квадратных метрах).

2. Удельное сопротивление материала:
   Удельное сопротивление ($ \rho $) — это характеристика материала, которая показывает, насколько сильно данный материал сопротивляется прохождению электрического тока. Для медного провода $ \rho_{Cu} \approx 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом·м} $, а для алюминиевого $ \rho_{Al} \approx 2.8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом·м} $.

3. Единицы измерения:

   • Длина проводника ($ l $) измеряется в метрах (м).
   • Площадь поперечного сечения ($ S $) обычно задается в квадратных миллиметрах ($ \text{мм}^2 $), но для расчета сопротивления в системе СИ необходимо перевести эту величину в квадратные метры: $ 1 \, \text{мм}^2 = 10^{-6} \, \text{м}^2 $.

4. Равенство сопротивлений:
   Чтобы алюминиевый провод имел то же сопротивление, что и медный, его сопротивление, рассчитанное по формуле $ R = \rho \cdot \frac{l}{S} $, должно быть равным сопротивлению медного провода. Это означает:
   $$ R_{Cu} = R_{Al}. $$

Алгоритм решения задачи:

1. Рассчитаем сопротивление медного провода: Используем формулу $ R = \rho \cdot \frac{l}{S} $. Для медного провода известны:
   • $ \rho_{Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом·м} $,
   • $ l = 200 \, \text{м} $,
   • $ S = 10 \, \text{мм}^2 = 10 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2 $.

Подставляем значения в формулу, чтобы найти $ R_{Cu} $.

1. Рассчитаем площадь поперечного сечения алюминиевого провода:
   Условия задачи требуют, чтобы сопротивление алюминиевого провода было равным сопротивлению медного. Используем формулу:
   $$ R_{Al} = \rho_{Al} \cdot \frac{l}{S_{Al}}. $$
   Приравниваем $ R_{Cu} $ и $ R_{Al} $:
   $$ \rho_{Cu} \cdot \frac{l}{S_{Cu}} = \rho_{Al} \cdot \frac{l}{S_{Al}}. $$
   Учитывая, что длина проводов одинакова ($ l $), упростим уравнение:
   $$ \frac{\rho_{Cu}}{S_{Cu}} = \frac{\rho_{Al}}{S_{Al}}. $$
   Найдем $ S_{Al} $ (площадь поперечного сечения алюминиевого провода):
   $$ S_{Al} = S_{Cu} \cdot \frac{\rho_{Al}}{\rho_{Cu}}. $$

2. Подставляем численные значения:

   • $ \rho_{Cu} = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом·м} $,
   • $ \rho_{Al} = 2.8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом·м} $,
   • $ S_{Cu} = 10 \, \text{мм}^2 = 10 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2 $.

После подстановки вычисляем $ S_{Al} $.

Заключение:

Решение задачи требует вычисления сопротивления медного провода с помощью формулы $ R = \rho \cdot \frac{l}{S} $, а затем определения площади поперечного сечения алюминиевого провода, чтобы его сопротивление было равным сопротивлению медного.