Проводник, имеющий площадь поперечного сечения 0,5 $мм^{2}$ и сопротивление 16 Ом, надо заменить проводником из того же материала и той же длины, но сопротивлением 80 Ом. Какой площади поперечного сечения проводник необходимо подобрать для этой замены?
Дано:
$S_{1} = 0,5 мм^{2}$;
$R_{1} = 16$ Ом;
$ρ_{1} = ρ_{2} = ρ$;
$l_{1} = l_{2}$;
$R_{2} = 80$ Ом;
Найти:
$S_{2}$ − ?
Решение:
$R = \frac{ρl}{S}$;
$l = \frac{RS}{ρ}$;
Т.к. $l_{1} = l_{2}$, то
$\frac{R_{1}S_{1}}{ρ} = \frac{R_{2}S_{2}}{ρ}$;
$S_{2} = \frac{R_{1}S_{1}ρ}{R_{2}ρ} = \frac{R_{1}S_{1}}{R_{2}}$;
$S_{2} = \frac{16 * 0,5}{80} = 0,1 мм^{2}$.
Ответ: 0,1 $мм^{2}$.
Прежде чем приступить к решению задачи, следует разобраться с теоретическими аспектами, которые помогут понять, как связаны между собой сопротивление, длина проводника, его площадь поперечного сечения и материал.
Сопротивление проводника (R) определяется формулой:
$$
R = \rho \frac{l}{S},
$$
где:
− $ R $ — сопротивление проводника, измеряется в Омах (Ом);
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала проводника, измеряется в Ом·м;
− $ l $ — длина проводника, измеряется в метрах (м);
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника, измеряется в квадратных метрах ($ м^2 $).
Эта формула показывает, что сопротивление проводника прямо пропорционально его длине ($ l $) и удельному сопротивлению ($ \rho $), а также обратно пропорционально площади поперечного сечения ($ S $).
Удельное сопротивление ($ \rho $) — это физическая характеристика материала. Оно показывает, какое сопротивление создаёт проводник длиной 1 метр и площадью поперечного сечения 1 квадратный метр. Для данной задачи важно понимать, что если материал проводников одинаковый, то удельное сопротивление ($ \rho $) остаётся неизменным.
Так как сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения ($ S $), то при увеличении площади поперечного сечения сопротивление уменьшается, а при уменьшении площади поперечного сечения сопротивление увеличивается.
Если сравнивать два проводника из одного и того же материала и одинаковой длины, то их сопротивления связаны отношением обратных пропорций их площадей:
$$
\frac{R_1}{R_2} = \frac{S_2}{S_1},
$$
где:
− $ R_1 $ и $ R_2 $ — сопротивления первого и второго проводника;
− $ S_1 $ и $ S_2 $ — площади поперечного сечения первого и второго проводника.
Для данной задачи материал проводников один и тот же, следовательно, удельное сопротивление ($ \rho $) одинаково. Также длина проводников ($ l $) одинакова. Из этого следует, что изменение сопротивления связано только с изменением площади поперечного сечения.
Записать формулу сопротивления для первого проводника:
$$
R_1 = \rho \frac{l}{S_1}.
$$
Записать формулу сопротивления для второго проводника:
$$
R_2 = \rho \frac{l}{S_2}.
$$
Разделить обе формулы друг на друга, чтобы исключить $ \rho $ и $ l $, так как они одинаковы для двух проводников:
$$
\frac{R_1}{R_2} = \frac{S_2}{S_1}.
$$
Выразить площадь поперечного сечения нового проводника ($ S_2 $):
$$
S_2 = S_1 \frac{R_1}{R_2}.
$$
Подставить известные значения ($ S_1 $, $ R_1 $, $ R_2 $) и найти $ S_2 $.
Таким образом, задача сводится к простым математическим вычислениям с использованием пропорции сопротивлений и площадей поперечного сечения.
Пожауйста, оцените решение
