Два куска медной проволоки имеют одинаковую массу. Один кусок в 5 раз длиннее другого. Какой кусок проволоки имеет большее сопротивление и во сколько раз?

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить основные законы и формулы, связанные с электрическим сопротивлением проводников.

Электрическое сопротивление проводника — это величина, характеризующая способность проводника препятствовать прохождению электрического тока. Сопротивление обозначается буквой $ R $ и измеряется в омах ($ \Omega $).

Сопротивление проводника зависит от следующих факторов:
1. Длина проводника ($ l $): Сопротивление прямо пропорционально длине проводника. То есть, чем длиннее проводник, тем больше его сопротивление.
Формула: $ R \propto l $.

1. Площадь поперечного сечения проводника ($ S $): Сопротивление обратно пропорционально площади поперечного сечения. То есть, чем больше площадь, тем меньше сопротивление.
   Формула: $ R \propto \frac{1}{S} $.

2. Материал проводника: Величина сопротивления также зависит от материала проводника. Для характеристики материала используется величина, называемая удельным сопротивлением ($ \rho $). Удельное сопротивление — это константа, которая зависит только от материала проводника.

Объединяя эти зависимости, получаем формулу для сопротивления проводника:
$$ R = \rho \cdot \frac{l}{S}, $$
где:
− $ R $ — сопротивление проводника,
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала,
− $ l $ — длина проводника,
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника.

Теперь перейдём к анализу задачи. Нам даны два куска медной проволоки с одинаковой массой, но разной длиной. Один кусок в 5 раз длиннее другого. Чтобы выяснить, как изменится сопротивление, необходимо учесть связь между массой, длиной, площадью поперечного сечения и плотностью материала.

Связь массы, длины и площади поперечного сечения
Масса проводника ($ m $) связана с его объёмом ($ V $) и плотностью материала ($ \rho_{\text{мат}} $):
$$ m = \rho_{\text{мат}} \cdot V, $$
а объём проводника равен:
$$ V = S \cdot l, $$
где:
− $ S $ — площадь поперечного сечения,
− $ l $ — длина проводника.

Таким образом, масса проводника выражается как:
$$ m = \rho_{\text{мат}} \cdot S \cdot l. $$

Так как масса обоих проводников одинакова, то:
$$ \rho_{\text{мат}} \cdot S_1 \cdot l_1 = \rho_{\text{мат}} \cdot S_2 \cdot l_2, $$
где $ S_1 $ и $ l_1 $ — площадь поперечного сечения и длина первого проводника, $ S_2 $ и $ l_2 $ — площадь поперечного сечения и длина второго проводника.

После сокращения на $ \rho_{\text{мат}} $ получаем:
$$ S_1 \cdot l_1 = S_2 \cdot l_2. $$

Теперь учтём, что один проводник в 5 раз длиннее другого, то есть:
$$ l_2 = 5 \cdot l_1. $$

Подставляем это в предыдущую формулу:
$$ S_1 \cdot l_1 = S_2 \cdot (5 \cdot l_1). $$

Сокращаем на $ l_1 $:
$$ S_1 = 5 \cdot S_2. $$

Таким образом, площадь поперечного сечения первого проводника в 5 раз больше, чем площадь поперечного сечения второго.

Сравнение сопротивлений
Используем формулу сопротивления $ R = \rho \cdot \frac{l}{S} $ для каждого проводника:
− Для первого проводника: $ R_1 = \rho \cdot \frac{l_1}{S_1} $.
− Для второго проводника: $ R_2 = \rho \cdot \frac{l_2}{S_2} $.

Подставляем $ l_2 = 5 \cdot l_1 $ и $ S_1 = 5 \cdot S_2 $:
− $ R_1 = \rho \cdot \frac{l_1}{S_1} = \rho \cdot \frac{l_1}{5 \cdot S_2} $.
− $ R_2 = \rho \cdot \frac{l_2}{S_2} = \rho \cdot \frac{5 \cdot l_1}{S_2} $.

Отношение сопротивлений:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \cdot \frac{5 \cdot l_1}{S_2}}{\rho \cdot \frac{l_1}{5 \cdot S_2}} = \frac{5}{\frac{1}{5}} = 25. $$

Таким образом, второй проводник имеет сопротивление в 25 раз больше, чем первый.