Длина одного медного провода 40 см, другого − 2 м. Площадь сечения второго провода меньше первого в 5 раз. Что можно сказать о сопротивлении этих проводов?
Дано:
$ρ_{1} = ρ_{2}$;
$l_{1} = 40$ см;
$l_{2} = 2$ м;
$\frac{S_{1}}{S_{2}} = 5$.
Найти:
$\frac{R_{2}}{R_{1}}$ − ?
СИ:
$l_{1} = 0,4$ м.
Решение:
$S_{1} = 5S_{2}$;
$R_{1} = \frac{ρ_{1}l_{1}}{S_{1}} = \frac{ρ_{2}l_{1}}{5S_{2}} $;
$R_{2} = \frac{ρ_{2}l_{2}}{S_{2}}$;
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{\frac{ρ_{2}l_{2}}{S_{2}}}{\frac{ρ_{2}l_{1}}{5S_{2}}} = \frac{5l_{2}}{l_{1}}$;
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{5 * 2}{0,4} = 25$.
Ответ: Сопротивление второго провода в 25 раз больше сопротивления первого провода.
Для ответа на поставленный вопрос нужно разобраться с законом, который связывает длину проводника, площадь его поперечного сечения и его электрическое сопротивление. Основным законом, который применяется в этой задаче, является формула для расчёта сопротивления проводника.
Сопротивление проводника $ R $ определяется по формуле:
$$ R = \rho \cdot \frac{L}{S}, $$
где:
− $ R $ — сопротивление проводника (измеряется в омах, Ом);
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала проводника (измеряется в Ом·м, это характеристика материала);
− $ L $ — длина проводника (измеряется в метрах, м);
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника (измеряется в квадратных метрах, м²).
1. Длина проводников
В задаче указано, что длина первого проводника $ L_1 = 40 \, \text{см} $. Чтобы подставить это значение в формулу, нужно перевести сантиметры в метры: $ 40 \, \text{см} = 0{,}4 \, \text{м} $.
Для второго проводника длина $ L_2 = 2 \, \text{м} $.
Таким образом, второй проводник имеет большую длину, чем первый.
2. Площадь поперечного сечения
Для первого проводника площадь сечения обозначим $ S_1 $. Для второго проводника указано, что его площадь сечения меньше площади первого проводника в 5 раз, то есть $ S_2 = \frac{S_1}{5} $.
3. Удельное сопротивление материала
В задаче сказано, что оба проводника изготовлены из меди. Это означает, что их удельное сопротивление $ \rho $ одинаково. Удельное сопротивление меди — это табличная величина, равная примерно $ 0{,}017 \, \text{Ом} \cdot \text{м} $, но в данной задаче конкретное числовое значение не обязательно, так как важно только соотношение сопротивлений двух проводников.
4. Зависимость сопротивления от длины и площади
Из формулы сопротивления видно, что сопротивление зависит от длины проводника $ L $ и обратно пропорционально площади его поперечного сечения $ S $. Если длина увеличивается, сопротивление увеличивается прямо пропорционально. Если площадь поперечного сечения уменьшается, сопротивление увеличивается обратно пропорционально.
Теперь можно найти соотношение сопротивлений двух проводников, обозначив сопротивления первого проводника за $ R_1 $, а второго за $ R_2 $. Это соотношение можно выразить, подставив длины и площади сечения обоих проводников в формулу сопротивления:
$$ R_1 = \rho \cdot \frac{L_1}{S_1}, $$
$$ R_2 = \rho \cdot \frac{L_2}{S_2}. $$
Поделим $ R_2 $ на $ R_1 $:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{\rho \cdot \frac{L_2}{S_2}}{\rho \cdot \frac{L_1}{S_1}}. $$
Удельное сопротивление $ \rho $ сокращается:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{L_2}{S_2}}{\frac{L_1}{S_1}}. $$
Деление дробей заменяем умножением, перевернув вторую дробь:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{S_2} \cdot \frac{S_1}{L_1}. $$
Подставим $ S_2 = \frac{S_1}{5} $:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2}{\frac{S_1}{5}} \cdot \frac{S_1}{L_1}. $$
Упростим выражение:
$$ \frac{R_2}{R_1} = \frac{L_2 \cdot 5}{S_1} \cdot \frac{S_1}{L_1}. $$
Сокращаем $ S_1 $:
$$ \frac{R_2}{R_1} = 5 \cdot \frac{L_2}{L_1}. $$
Теперь можно подставить значения $ L_1 = 0{,}4 \, \text{м} $ и $ L_2 = 2 \, \text{м} $:
$$ \frac{R_2}{R_1} = 5 \cdot \frac{2}{0{,}4}. $$
Остаётся вычислить это выражение, чтобы определить, во сколько раз сопротивление второго проводника больше, чем первого.
Пожауйста, оцените решение
