Какой проводник имеет большее сопротивление в цепи постоянного тока − сплошной медный стержень или медная трубка, внешний диаметр которой равен диаметру стержня? Длину обоих проводников считать одинаковой.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте разберем теоретическую основу для вычисления электрического сопротивления проводников.

Зависимость сопротивления проводника от его параметров

Электрическое сопротивление проводника определяется формулой:

$$ R = \rho \cdot \frac{l}{S} $$

где:
− $ R $ — сопротивление проводника (Ом),
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала проводника (Ом·м),
− $ l $ — длина проводника (м),
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника (м²).

Удельное сопротивление ($ \rho $)

Удельное сопротивление — это характеристика материала, показывающая, насколько материал сопротивляется прохождению электрического тока. Для меди удельное сопротивление фиксировано (около $ 1.7 \times 10^{-8} \, \text{Ом·м} $) и не зависит от формы проводника.

Длина проводника ($ l $)

Длина проводника — это расстояние, которое электрический ток проходит внутри материала. В задаче указано, что длины обоих проводников одинаковы, поэтому эта величина не влияет на различие их сопротивлений.

Площадь поперечного сечения ($ S $)

Площадь поперечного сечения — это площадь, через которую проходит электрический ток. Она зависит от формы проводника. Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше сопротивление, поскольку ток легче проходит через материал.

Геометрические характеристики проводников

1. Медный стержень Сплошной медный стержень имеет форму цилиндра. Его площадь поперечного сечения рассчитывается по формуле площади круга:

$$ S_{\text{стержень}} = \pi \cdot r^2 $$

где $ r $ — радиус стержня (м).

1. Медная трубка Медная трубка имеет форму полого цилиндра. Площадь поперечного сечения трубки рассчитывается как разность площадей внешнего круга и внутреннего круга:

$$ S_{\text{трубка}} = \pi \cdot R^2 - \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (R^2 - r^2) $$

где:
− $ R $ — внешний радиус трубки (м),
− $ r $ — внутренний радиус трубки (м).

В задаче указано, что внешний диаметр трубки равен диаметру стержня, следовательно внешний радиус трубки равен радиусу стержня ($ R = r_{\text{стержень}} $).

Сравнение сопротивлений

Из формулы сопротивления видно, что оно обратно пропорционально площади поперечного сечения ($ R \propto \frac{1}{S} $). Чем меньше площадь поперечного сечения, тем больше сопротивление.

1. У медного стержня площадь поперечного сечения равна $ \pi \cdot r^2 $.

2. У медной трубки площадь поперечного сечения равна $ \pi \cdot (R^2 - r^2) $. Так как $ R = r $ (внешний радиус трубки равен радиусу сплошного стержня), то сопротивление трубки будет больше, поскольку часть материала внутри трубки отсутствует (внутренний радиус $ r $ уменьшает площадь сечения).

Сопротивление трубки будет больше, чем сопротивление сплошного стержня, из−за уменьшенной площади поперечного сечения.