Имеются две проволоки одинакового сечения и материала. Длина одной проволоки равна 10 см, а другой − 50 см. Какая проволока имеет большее сопротивление и во сколько раз? Почему?
Дано:
$S_{1} = S_{2}$;
$ρ_{1} = ρ_{2}$;
$l_{1} = 10$ см;
$l_{2} = 50$ см.
Найти:
$\frac{R_{2}}{R_{1}}$ − ?
СИ:
$l_{1} = 0,1$ м;
$l_{2} = 0,5$ м.
Решение:
$R_{1} = \frac{ρ_{1}l_{1}}{S_{1}}$;
$R_{2} = \frac{ρ_{2}l_{2}}{S_{2}} = \frac{ρ_{1}l_{2}}{S_{1}}$;
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{\frac{ρ_{1}l_{2}}{S_{1}}}{\frac{ρ_{1}l_{1}}{S_{1}}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$;
$\frac{R_{2}}{R_{1}} = \frac{0,5}{0,1} = 5$.
Ответ: Вторая проволока имеет большее сопротивление в 5 раз. Во сколько раз больше длина проводника, во столько раз больше сопротивление, если проволоки одинакового сечения и материала, т.к. сопротивление прямо пропорционально длине проводника.
Для решения данной задачи необходимо обратиться к закону сопротивления проводника, который описывает зависимость электрического сопротивления проводника от его геометрических и физических характеристик. Разберём теоретическую часть подробно.
Электрическое сопротивление проводника
Сопротивление проводника характеризует его способность препятствовать протеканию электрического тока. Оно обозначается буквами $ R $ и измеряется в Омах ($ \Omega $). Формула для расчёта сопротивления проводника имеет вид:
$$ R = \rho \frac{l}{S} $$
Где:
− $ R $ — сопротивление проводника ($ \Omega $),
− $ \rho $ — удельное сопротивление материала ($ \Omega \cdot м $),
− $ l $ — длина проводника (м),
− $ S $ — площадь поперечного сечения проводника (м²).
Пояснение формулы
Удельное сопротивление $ \rho $:
Это характеристика материала проводника, которая остаётся постоянной для каждого типа материала. Например, у меди, алюминия или стали удельное сопротивление имеет определённое значение. Удельное сопротивление показывает, насколько материал препятствует движению электрического заряда.
Длина проводника $ l $:
Чем больше длина проводника, тем большее расстояние должны пройти электроны, сталкиваясь с атомами материала. По этой причине сопротивление проводника увеличивается с увеличением его длины. В формуле длина находится в числителе, что показывает прямую пропорциональность сопротивления к длине.
Площадь поперечного сечения $ S $:
Чем больше площадь поперечного сечения проводника, тем больше пространства для движения электричества, и, соответственно, сопротивление уменьшается. В формуле площадь находится в знаменателе, что показывает обратную пропорциональность сопротивления к площади.
Анализ задачи
Материал проводников одинаковый.
Это значит, что удельное сопротивление $ \rho $ одинаково для обеих проволок, и на результат оно не повлияет.
Площадь поперечного сечения одинаковая.
Это значит, что $ S $ также одинаково для обеих проволок, и его значение не изменяет соотношение сопротивлений.
Длина проводников разная.
Согласно формуле $ R \sim l $, сопротивление проводника прямо пропорционально его длине. Таким образом, проводник длиной 50 см будет иметь большее сопротивление, чем проводник длиной 10 см.
Соотношение сопротивлений
Если длины проводников отличаются в $ n $−раз, то их сопротивления также будут отличаться в $ n $−раз. В данной задаче длины проводников составляют 10 см и 50 см, то есть одна проволока в 5 раз длиннее другой. Это значит, что её сопротивление будет в 5 раз больше.
Вывод
Из формулы $ R = \rho \frac{l}{S} $ видно, что сопротивление проводника прямо пропорционально длине при фиксированных $ \rho $ и $ S $. Длинная проволока (50 см) имеет большее сопротивление, чем короткая (10 см), и её сопротивление будет в 5 раз больше, так как длина увеличилась в 5 раз.
Пожауйста, оцените решение
