Докажите, что верно равенство:
а) $(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$;
б) $(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$;
в) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$;
г) $(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$;
д) г) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$.

Получай решения и ответы с помощью нашего бота

Решение

reshalka.com

Алгебра 7 класс Никольский. 8.4. Преобразование рациональных выражений. Номер №614

Решение а

$(a^{-1} + b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} + b^{-1})^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = (a^{-1})^2 + 2a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2 = a^{-2} + 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
Утверждение доказано.

Решение б

$(a^{-1} - b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})^2 = (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (a^{-1})^2 - 2a^{-1}b^{-1} + (b^{-1})^2 = a^{-2} - 2a^{-1}b^{-1} + b^{-2}$
Утверждение доказано.

Решение в

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = a^{-2} - b^{-2}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = a^{-2} - b^{-2}$
Утверждение доказано.

Решение г

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} - b^{-3}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-2} + a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3 = (a^{-1})^3 - (b^{-1})^3 = a^{-3} - b^{-3}$
Утверждение доказано.

Решение д

г) $(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = a^{-3} + b^{-3}$
пусть $a^{-1} = x, b^{-1} = y$, тогда:
$(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} - a^{-1}b^{-1} + b^{-2}) = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3 = (a^{-1})^3 + (b^{-1})^3 = a^{-3} + b^{-3}$
Утверждение доказано.