Докажите, что:
а) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел является нечетным числом;
б) разность квадратов двух последовательных четных чисел делится на 4;
в) разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.
Пусть x − первое число, тогда:
x + 1 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(x + 1)^2 - x^2 = (x + 1 - x)(x + 1 + x) = 2x + 1$ − нечетное число.
Утверждение доказано.
Пусть 2x − первое четное число, тогда:
2x + 2 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(2x + 2)^2 - (2x)^2 = (2x + 2 - 2x)(2x + 2 + 2x) = 2(4x + 2) = 8x + 4 = 4(2x + 1)$ − делится на 4.
Утверждение доказано.
Пусть 2x + 1 − первое четное число, тогда:
2x + 3 − второе число.
Рассмотрим разность квадратов данных чисел:
$(2x + 3)^2 - (2x + 1)^2 = (2x + 3 - 2x - 1)(2x + 3 + 2x + 1) = 2(4x + 4) = 8x + 8 = 8(x + 1)$ − делится на 8.
Утверждение доказано.
Пожауйста, оцените решение
